สรุป บทที่ 1

หลักในการวิเคราะห์มิติ 1) คำนวณมิติตามหลักพีชคณิต (Algebra) 2) ปริมาณทางฟิสิกส์จะเท่ากันหรือบวกลบกันได้ ต้องมีมิติเหมือนกัน 3) ผลลัพธ์ของตัวชี้กำลังสำหรับเลขยกกำลัง หรือผลลัพธ์ของปริมาณที่อยู่ภายใน log หรือผลลัพธ์ของปริมาณที่อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะต้องไม่มีมิติ

หน่วยฐาน (Base Unit) มิติ หน่วย สัญลักษณ์ เวลา วินาที (second) s ความยาว เมตร (meter) m มวล กิโลกรัม (kilogram) kg ปริมาณสาร โมล (mole) mol อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ เคลวิน (Kelvin) K กระแสไฟฟ้า แอมแปร์ (Ampere) A ความเข้มของการส่องสว่าง แคนเดลา (candela) cd หน่วยที่เป็นชื่อคนจะใช้สัญลักษณ์เป็นอักษรตัวใหญ่ เช่น A K เป็นต้น

คำนำหน้าหน่วย (Prefix) ความหมาย คำนำหน้า สัญลักษณ์ ความหมาย คำนำหน้า สัญลักษณ์ 10⁻³⁰ quecto q 10³⁰ quetta Q 10⁻²⁷ ronto r 10²⁷ ronna R 10⁻²⁴ yocto y 10²⁴ yotta Y 10⁻²¹ zepto z 10²¹ zetta Z 10⁻¹⁸ atto a 10¹⁸ exa E 10⁻¹⁵ femto f 10¹⁵ peta P 10⁻¹² pico p 10¹² tera T 10⁻⁹ nano n 10⁹ giga G 10⁻⁶ micro μ 10⁶ mega M 10⁻³ milli m 10³ kilo k 10⁻² centi c 10² hecto h 10⁻¹ deci d 10¹ deca D

การแปลงหน่วยด้วยการคูณด้วยหนึ่ง การคูณด้วยหนึ่ง (×1) ไม่ได้ทำให้ขนาดเปลี่ยนไป แต่ค่าของ 1 ในทาง 2 , 10³×10⁻³ , 10⁻⁶×10⁶ คณิตศาสตร์มีได้หลากหลายรูปแบบ เช่น เป็นต้น 2 ดังนั้นหลักการสำคัญที่นำมาใช้ในการแปลงหน่วย คือ การคูณด้วยหนึ่ง เช่น การเปลี่ยน 3×10⁻⁶ km ให้อยู่ในรูปของ μm 3×10⁻⁶ km = 3×10⁻³ m 3×10⁻⁶ km = 3×10⁻³×(10⁶×10⁻⁶) m      ; 10⁶×10⁻⁶ = 1 3×10⁻⁶ km = 3×10⁻³×10⁶×(10⁻⁶ m) 3×10⁻⁶ km = 3×10³ μm                  ; μ = 10⁻⁶ การเปลี่ยน 5×10⁵ kg ให้อยู่ในรูปของ Gg 5×10⁵ kg = 5×10⁵×(10³) g          ; k = 10³ 5×10⁵ kg = 5×10⁸ g 5×10⁵ kg = 5×10⁸×(10⁻⁹×10⁹) g     ; 10⁻⁹×10⁹ = 1 5×10⁵ kg = 5×10⁸×10⁻⁹×(10⁹ g) 5×10⁵ kg = 0.5 Gg                  ; G = 10⁹ การเปลี่ยน 50 นาที ให้อยู่ในหน่วย ks 60 วินาที = 1 นาที 60 วินาที 1 = 1 นาที 60 s 1 = 1 min 60 s 50 นาที = (50 min)( ) ; ×1 1 min 50 นาที = 3,000 s 50 นาที = 3×10³ s 50 นาที = 3 ks ; k = 10³ การเปลี่ยน 50 นิ้ว ให้อยู่ในหน่วย m 1 นิ้ว = 2.54 cm 2.54 cm 1 = 1 นิ้ว 2.54 cm 1 = 1 in 2.54 cm 50 นิ้ว = (50 in)( )      ; ×1 1 in 50 นิ้ว = 127 cm 50 นิ้ว = 127×10⁻² m           ; c = 10⁻² 50 นิ้ว = 1.27 m

การบันทึกข้อมูลให้น่าเชื่อถือ จากรูปด้านบนอาจตีความได้ว่า ปากกาด้ามนี้มีความยาวได้มากสุด 15.0 cm มีความยาวน้อยสุด 14.0 cm และคาดเดาว่ามีความยาวเป็น 14.3 cm สามารถบันทึกข้อมูลได้เป็น 14.3 (+0.7, -0.3) cm เพื่อความสะดวกในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนมากๆ อาจบันทึกข้อมูลเป็น ค่าที่ คาดเดาจากการวัด ±ความละเอียดของเครื่องมือวัด เช่น คาดเดาความยาวของ ปากกาจากการวัดเป็น 14.3 cm และเครื่องมือวัดนี้มีความละเอียดเป็น 0.5 cm จะบันทึกข้อมูลได้เป็น 14.3 ±0.5 cm (ตามตัวเลขนี้ตีความได้ว่าปากกามีความยาว มากสุด 14.8 cm และมีความยาวน้อยสุด 13.8 cm) เป็นต้น การวัดทางฟิสิกส์มีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นได้เสมอ จากหลายปัจจัย ทั้งกับ เครื่องวัด วิธีการวัด ประสบการณ์ของผู้วัด และสภาพแวดล้อม จึงต้องวัดซ้ำหลาย ครั้ง เพื่อลดความเคลื่อนให้เหลือน้อยที่สุด ดังนั้น การรายงานผลการวัดจะอยู่ในรูป x ±∆x เมื่อ x เป็นค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นตัวแทนของผลการวัดชุดนั้น และ ∆x เป็น av av av av ความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย ซึ่งเป็นขอบเขตของความคลาดเคลื่อนของผลการวัด ชุดนั้น และการรายงานผลการวัดหรือผลการทดลอง ค่าที่วัดได้และค่าความคาด เคลื่อนควรใช้หน่วยเดียวกัน ความน่าเชื่อถือของข้อมูลนั้นขึ้นกับความละเอียดของข้อมูล และยังขึ้นกับ ความเหมาะสมในการเลือกใช้เครื่องมือวัด แต่ไม่ได้ขึ้นกับประเภทของเครื่องมือวัด และเมื่อทำการทดลองเหมือนกัน ผลการทดลองที่มีความคาดเคลื่อนน้อยกว่าจะมีความ น่าเชื่อถือมากกว่า

หลักการทั่วไปในการนับจำนวณเลขนัยสำคัญ 1) เลข 1-9 ให้นับทุกตัว เช่น 246 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 3 ตัว, 1,357 มี จำนวนเลขนัยสำคัญ 4 ตัว, 123.456 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 6 ตัว เป็นต้น 2) วิธีการนับเลขนัยสำคัญของเลข 0 2.1) เลข 0 ที่อยู่ด้านหน้าตัวเลขอื่นไม่นับนัยสำคัญ เช่น 012 มีจำนวน เลขนัยสำคัญ 2 ตัว คือ 1 และ 2, 0.03 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 1 ตัว คือ 3, 0.0089 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 2 ตัว คือ 8 และ 9 เป็นต้น 2.2) เลข 0 ที่อยู่ระหว่างตัวเลขอื่น ให้นับทุกตัว เช่น 102 มีจำนวนเลข นัยสำคัญ 3 ตัว คือ 1, 0 และ 2, 0901 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 3 ตัว คือ 9, 0 และ 1 ตามลำดับ เป็นต้น 2.3) เลข 0 ที่อยู่หลังเลขตัวอื่นและอยู่หลังทศนิยมให้นับทุกตัว เช่น 1.230 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 4 ตัว คือ 1, 2, 3 และ 0, 100.00 มีจำนวนเลข นัยสำคัญ 5 ตัว คือ 1, 0, 0, 0 และ 0 ตามลำดับ เป็นต้น 2.4) เลข 0 ที่อยู่หลังตัวเลขอื่นที่เป็นจำนวนเต็ม อาจนับหรือไม่นับขึ้นอยู่ กับความละเอียดของเครื่องมือวัด และให้ใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific Notation) มาช่วย เช่น 15,000 มีจำนวนเลขนัยสำคัญ 5 ตัว หรือเขียนเป็น 1.50×10⁴ จะมีจำนวนเลขนัยสำคัญ 3 ตัว เป็นต้น 3) ค่าคงที่ที่นำมาใช้ในการคำนวณไม่นับเป็นเลขนัยสำคัญ เช่น π เป็นต้น

หลักการทั่วไปในการคำนวณเลขนัยสำคัญ แนวคิดสำคัญของผลลัพธ์จากการคำนวณโดยคำนึงถึงเลขนัยสำคัญ คือ ต้องทำให้ข้อมูลมีความน่าเชื่อถือมากที่สุด ดังนั้นผลของการคำนวณที่ออกมาต้องมี ความละเอียดไม่เกินข้อมูลที่มีความละเอียดน้อยที่สุด หลักในการคำนวณเลขนัย สำคัญอาจแตกต่างกันหรือยืดหยุ่นได้ตามความเหมาะสม ในเบื้องต้นมีหลักการ คำนวณเลขนัยสำคัญ 2 ข้อ ดังนี้ 1) การบวกหรือลบ ผลการคำนวณต้องมีจำนวนของตำแหน่งทศนิยมไม่เกินกว่าข้อมูล ที่มีจำนวนตำแหน่งทศนิยมน้อยที่สุด เช่น 2.22 + 3.3 = 5.5 เนื่องจากข้อมูลที่ มีทศนิยมน้อยที่สุด คือ 3.3 ซึ่งมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง ดังนั้นผลของการคำนวณต้องมี ทศนิยมไม่เกิน 1 ตำแหน่ง เป็นต้น 2) การคูณหรือหาร ผลการคำนวณจะมีจำนวนของเลขนัยสำคัญไม่เกินกว่าข้อมูลที่มี จำนวนเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด เช่น 1.11×0.025 = 0.028 เนื่องจากข้อมูลที่มี จำนวนเลขนัยสำคัญน้อยที่สุด คือ 0.025 ซึ่งมีจำนวนเลขนัยสำคัญ 2 ตัว ดังนั้น ผลของการคำนวณต้องมีจำนวนเลขนัยสำคัญไม่เกิน 2 ตัว เป็นต้น เนื้อหาทั้งหมดของทาง Pinfist หลังจากนี้จะคำนวณตามหลักเลขนัยสำคัญในข้างต้น

แนวคิดแคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับฟิสิกส์ dy m = สำหรับสมการทางฟิสิกส์ซึ่งอยู่ในรูปแบบ หรือ dy = mdx dx ∆y (ค่าเฉลี่ยช่วงใหญ่ๆ เขียนได้เป็น m = ) av ∆x y dy m = ความชันของกราฟ = dx x m ∆y = พื้นที่ใต้กราฟ = ∫mdx x

การบวกและการลบเวกเตอร์ การบวกกันของเวกเตอร์หาผลลัพธ์ได้จากการนำเวกเตอร์มาต่อกันแบบนำ หางเวกเตอร์ตัวหนึ่งมาต่อกับหัวของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง และสร้างเวกเตอร์ลัพธ์ขึ้นมา ใหม่โดยลากจากหางของเวกเตอร์ตัวแรกไปยังหัวของเวกเตอร์ตัวหลัง ดังรูปด้านล่าง C⃑ B⃑ A⃑ + B⃑ B⃑ A⃑ A⃑ A⃑ + B⃑ + C⃑ หรือมองว่าเป็นหางเวกเตอร์ต่อกับหางเวกเตอร์ ดังนี้ B⃑ A⃑ + B⃑ A⃑ การลบกันของเวกเตอร์หาผลลัพธ์ได้จากการใช้วิธีของการบวกเวกเตอร์ แต่มองว่าเป็นการบวกเวกเวกเตอร์ซึ่งเป็นลบ (เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่าเดิม แต่มีทิศทาง ตรงกันข้าม) ดังนี้ แบบหางเวกเตอร์ต่อกับหัวเวกเตอร์ B⃑ A⃑ -C⃑ A⃑ A⃑ - B⃑ B⃑ -B⃑ C⃑ A⃑ + B⃑ - C⃑ หรือมองว่าเป็นหางเวกเตอร์ต่อกับหางเวกเตอร์ แต่ลากจากหัวเวกเตอร์ลบ ไปยังหัวเวกเตอร์บวก ดังนี้ B⃑ A⃑ - B⃑ A⃑

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ใช้สำหรับบอกทิศทาง ของเวกเตอร์ และช่วยให้คำนวณปริมาณเวกเตอร์ได้ด้วยพีชคณิตตามแบบที่เราคุ้นเคย ทาง Pinfist จะ ใช้สัญลักษณ์ ^ เพื่อบอกว่าเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย î  คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศชี้ไปทางบวกของแกน x ĵ  คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศชี้ไปทางบวกของแกน y k̂  คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศชี้ไปทางบวกของแกน z y (x, y, z) y r⃑ = x î  + y ĵ  + z k̂ (0, 0, 0) x z x z จากรูปด้านบน สามารถเขียนเวกเตอร์บอกตำแหน่งซึ่งชี้จากจุดกำเนิดไปยังจุด (x, y, z) ได้ดังนี้ r⃑ = x î  + y ĵ  + z k̂

องค์ประกอบของเวกเตอร์ (Vector Components) y r⃑ y⃑ θ x x⃑ จากรูปด้านบน เราสารมารถเขียนได้ว่า โดยที่ r⃑ = x î  + y ĵ y sinθ = → ∴ y = |r⃑|sinθ |r⃑| x cosθ = → ∴ x = |r⃑|cosθ |r⃑| y tanθ = → ∴ θ = tan⁻¹( y ) x x |r⃑| = x² + y² ในกรณี 3 มิติ เขียนได้ดังนี้  |r⃑| = x² + y² + z² เมื่อเขียนเวกเตอร์ในรูปขององค์ประกอบเวกเตอร์ได้แล้ว การบวกหรือลบ เวกเตอร์ (รวมถึงการคำนวณทางเวกเตอร์ในหัวข้ออื่นๆ ที่จะพบในเนื้อหาที่ซับซ้อนขึ้น) จะสามารถคำนวณได้ตามพีชคณิต เช่น î ĵ k̂ î ĵ k̂ กำหนดให้ A⃑ = A x + A y + A z และ B⃑ = B x + B y + B z î ĵ k̂ จะได้ว่า A⃑ ± B⃑ = (A ± B ) + (A ± B ) + (A ± B ) x x y y z z