สรุป บทที่ 2

ระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน (Cartesian Coordinate System) เริ่มจากการสร้างแกน x, y และ z ซึ่งตั้งฉากกันทั้งสามแกนตามรูปแบบ ของมือขวา โดยจุดตัดของแกนทั้งสามเรียกว่า “จุดกำเนิด (Origin)” กำหนดให้ ระยะห่างจากจุดกำเนิดตามแนวแกน x เป็นค่า x, ให้ระยะห่างจากจุดกำเนิดตามแนว แกน y เป็นค่า y และให้ระยะห่างจากจุดกำเนิดตามแนวแกน z เป็นค่า z โดย ระบบพิกัดนี้จะบอกตำแหน่งของวัตถุในรูปแบบ (x, y, z) ดังรูปด้านล่าง ในการ บอกตำแหน่งนั้นต้องตระหนักเสมอว่าตำแหน่งอ้างอิงคือสิ่งจำเป็นในการระบุตำแหน่ง ของวัตถุ จึงควรบอกด้วยว่าตำแหน่งของวัตถุอ้างอิงเทียบกับสิ่งใด y y (x, y, z) x z x จุดกำเนิด (Origin) อยู่ที่ตำแหน่ง (0, 0, 0) z

ระยะทางและการกระจัด ระยะทาง การกระจัด ระยะทาง (Distance ; Δr หรือ s 〚m〛) คือ ความยาวของเส้นทางการเคลื่อนที่ของ วัตถุในช่วงเวลาที่สนใจ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ (Scalar คือ ปริมาณที่มีขนาด แต่ ไม่มีทิศทาง ใช้พีชคณิต (Algebra) ในการคำนวณปริมาณสเกลาร์) ระยะทางอธิบาย การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุได้ดีในกรณีที่รู้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างชัดเจน การกระจัด (Displacement ; Δr⃑ หรือ s⃑ 〚m〛) คือ เวกเตอร์ที่ชี้จากตำแหน่งเริ่ม ต้นของวัตถุไปยังตำแหน่งสุดท้ายของวัตถุในช่วงเวลาที่สนใจ (Vector คือ ปริมาณที่ มีทั้งขนาดและทิศทาง ใช้เรขาคณิต (Geometry) ในการคำนวณปริมาณเวกเตอร์ และเครื่องหมายบวกลบของเวกเตอร์ คือ สิ่งที่บอกถึงทิศทางของเวกเตอร์เทียบกับทิศที่ กำหนดไว้เป็นทิศอ้างอิง) การกระจัดใช้อธิบายการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุได้ดี ในกรณีที่ไม่รู้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างชัดเจน เห็นได้ว่าขนาดของการกระจัดไม่จำเป็นต้องเท่ากับระยะทาง ปริมาณทั้งสอง จะเท่ากันเมื่อเป็นการเคลื่อนที่แนวตรงแบบไม่กลับทิศทาง ทาง Pinfist จะใช้สัญลักษณ์ Δ แทนการเปลี่ยนแปลงหรือผลต่างของ ข้อมูล ซึ่งเท่ากับ (ข้อมูลตอนหลัง) - (ข้อมูลตอนต้น) สัญลักษณ์ ⃑ ด้านบนสัญลักษณ์ใดๆ เป็นการบอกว่าสัญลักษณ์นั้นเป็น ปริมาณเวกเตอร์

อัตราเร็วและความเร็ว อัตราเร็วเฉลี่ย (Average Speed ; v 〚m/s〛) av ระยะทางในช่วงเวลาที่สนใจ Δr v = = av Δt ช่วงเวลาที่สนใจ ความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity ; v⃑ 〚m/s〛) av การกระจัดในช่วงเวลาที่สนใจ Δr⃑ v⃑ = = av Δt ช่วงเวลาที่สนใจ ความเร็วขณะหนึ่ง (Instantaneous Velocity ; v⃑ 〚m/s〛) ในการหาความเร็ว ณ เวลาหนึ่งนั้นทำได้โดยการพิจารณาความเร็วเฉลี่ย ในช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (น้อยมากๆ คือ น้อยกว่านัยสำคัญที่สนใจ) จนช่วงเวลาเข้า ใกล้ศูนย์ เขียนเป็นสัญลักษณ์ในทางคณิตศาสตร์ดังนี้ Δr⃑ dr⃑ หรือ v⃑ = lim v⃑ = Δt→0 dt Δt อัตราเร็วขณะหนึ่ง (Instantaneous Speed ; v 〚m/s〛) เมื่อช่วงเวลาในการพิจารณาถูกบีบให้เหลือน้อยมากๆ ระยะทางในช่วงเวลา นั้นจะสั้นมากๆ จนประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรงและมีขนาดเท่ากับขนาดของกระจัด ดัง นั้นอัตราเร็ว ณ เวลาหนึ่งจึงประมาณเท่ากับขนาดของความเร็ว ณ เวลาหนึ่ง v = |v⃑|

ข้อสังเกต ค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าขณะหนึ่ง และอัตราเร็วเฉลี่ยไม่จำเป็นต้อง เท่ากับขนาดของความเร็วเฉลี่ย ในกรณีที่รู้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างชัดเจน การอธิบายการ เคลื่อนที่ของวัตถุโดยใช้มุมมองเชิงสเกลาร์นั้นสะดวกกว่ามุมมองเชิงเวกเตอร์ แต่ในกรณีที่ไม่รู้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างชัดเจน การอธิบายการ เคลื่อนที่ของวัตถุโดยใช้มุมมองเชิงเวกเตอร์จะอธิบายได้ชัดเจนกว่ามุมมองเชิงสเกลาร์ วัตถุที่มีอัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ แสดงว่าวัตถุนั้นมีระยะทางในการเคลื่อนที่ เป็นศูนย์ นั่นคือ วัตถุไม่ได้มีการเคลื่อนที่ แต่วัตถุที่มีความเร็วเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ แสดงว่าวัตถุนั้นมีการกระจัดเป็นศูนย์ วัตถุอาจอยู่ที่ตำแหน่งเดิมหรือเคลื่อนที่กลับมายังตำแหน่งเดิมก็ได้ จึงไม่สามารถสรุป ได้ว่าวัตถุไม่ได้มีการเคลื่อนที่

ความเร่ง (Acceleration) 〛 ความเร่งเฉลี่ย (Average Acceleration ; a⃑ 〚m/s² ) av v⃑ - u⃑ ความเร็วปลาย - ความเร็วต้น Δv⃑ ความเร็วที่เปลี่ยนไป a⃑ = = = = av Δt Δt ช่วงเวลาที่สนใจ ช่วงเวลาที่สนใจ ความเร่งขณะหนึ่ง (Instantaneous Acceleration ; a⃑ 〚m/s²〛) Δv⃑ dv⃑ หรือ a⃑ = lim a⃑ = Δt→0 dt Δt อัตราเร่งไม่มีนิยามในทางฟิสิกส์ ทั้งในความหมายอัตราเร่งเฉลี่ย และอัตรา เร่งขณะหนึ่ง จึงไม่ควรนำมาเทียบกับความเร่ง

dr⃑ จาก สามารถตีความในเชิงแคลคูลัสได้ ดังนี้ v⃑ = dt r⃑ v⃑ ∆r⃑ = พื้นที่ใต้กราฟ v⃑ = ความชันของกราฟ t t ค่าเฉลี่ยหาได้จากความชันของกราฟเส้นตรงที่ลากผ่านสองจุดในกราฟ แต่ ค่าขณะหนึ่งหาได้จากความชันของกราฟที่จุดนั้น dv⃑ จาก สามารถตีความในเชิงแคลคูลัสได้ ดังนี้ a⃑ = dt v⃑ a⃑ ∆v⃑ = พื้นที่ใต้กราฟ a⃑ = ความชันของกราฟ t t พื้นที่ใต้กราฟเป็นได้ทั้งค่าบวกและลบ

เครื่องเคาะสัญญาณเวลา (Ticker-Timer) A B C A : คันเคาะ เมื่อต่อระบบไฟฟ้าเข้าเครื่องเคาะสัญญาณเวลา คันเคาะจะสั่นขึ้นลง ด้วยความถี่ตามสัญญาณไฟฟ้านั้น B : แถบกระดาษ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ แถบกระดาษที่ติดกับวัตถุจะถูกวัตถุดึงให้ให้ เคลื่อนที่ผ่านคันเคาะ เมื่อคันเคาะกดลงบนกระดาษคาร์บอน ทำให้ข้อมูลของระยะ ทางในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ เวลาต่างๆ ได้ถูกบันทึกไว้บนแถบกระดาษ C : กระดาษคาร์บอน เมื่อปลายเข็มกดลงบนกระดาษคาร์บอนจะเกิดจุดเล็กๆ ขึ้นบน แถบกระดาษ ตัวอย่างการหาความเร็วจากเครื่องเคาะสัญญาณเวลา ระบบไฟฟ้าในประเทศไทยมีความถี่ 50 Hz ดังนั้นเครื่องเคาะสัญญาณ เวลาจึงสั่นด้วยความถี่ 50 Hz จำนวนรอบในช่วงเวลาที่สนใจ จาก ความถี่ = ช่วงเวลาที่สนใจ จำนวนรอบในช่วงเวลาที่สนใจ ช่วงเวลาที่สนใจ = ความถี่ 1 ถ้าพิจารณาในช่วง 1 รอบ จะได้ช่วงเวลา Δt = = 0.02 s 50 Hz หมายความว่าวัตถุได้ใช้เวลาเคลื่อนที่ไป 0.02 s ในการเคลื่อนที่ไปเป็น ระยะทาง 1 ช่วงจุด และใช้เวลาเคลื่อนที่ไป 2(0.02 s) = 0.04 s ในการ เคลื่อนที่ไปเป็นระยะทาง 2 ช่วงจุด (ช่วงเวลาระหว่างจุดสองจุดบนแถบกระดาษที่อยู่ ถัดกันเท่ากันเสมอ) A B C D E ระยะ AC ∴ ความเร็วเฉลี่ยในช่วง AC หรือความเร็วเฉลี่ยที่จุด B จะมีขนาดเท่ากับ ระยะ AC |v⃑ | = B ช่วงเวลา AC ∴ ความเร็วเฉลี่ยในช่วง BD หรือความเร็วเฉลี่ยที่จุด C จะมีขนาดเท่ากับ ระยะ BD |v⃑ | = C ช่วงเวลา BD ∴ ความเร็วเฉลี่ยในช่วง CE หรือความเร็วเฉลี่ยที่จุด D จะมีขนาดเท่ากับ ระยะ CE |v⃑ | = D ช่วงเวลาBD ∴ ความเร่งเฉลี่ยในช่วง BD หรือความเร็วเฉลี่ยที่จุด C จะมีขนาดเท่ากับ v⃑  - v⃑ D B |a⃑ | = | | C ช่วงเวลา BD

สมการสำหรับการเคลื่อนที่ใน 1 มิติภายใต้ความเร่งคงที่ v⃑ = u⃑ + a⃑t ⋯⋯⋯ (s⃑) (v⃑ + u⃑)t s⃑ = ⋯⋯⋯ (a⃑) 2 1 u⃑t + a⃑t² s⃑ = ⋯⋯⋯ (v⃑) 2 1 v⃑t - a⃑t² s⃑ = ⋯⋯⋯ (u⃑) 2 v² = u² + 2a⃑⋅s⃑ ⋯⋯⋯ (t)

ข้อสังเกต ค่าเฉลี่ยของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นๆ ความเร่งทำให้วัตถุเคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลงก็ได้ วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วย ความเร่งเป็นค่าลบอาจเคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลงก็ได้ ขึ้นกับว่าความเร่งมีทิศเดียวกับ ความเร็วหรือมีทิศตรงข้ามกับความเร็ว ดังนั้นการที่ความเร่งเป็นค่าบวกวัตถุอาจ เคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลงก็ได้เช่นกัน วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ มีความเร่งได้ เพราะความเร่งนั้นทำให้วัตถุ เปลี่ยนทิศโดยไม่เปลี่ยนอัตราเร็ว ทำให้อัตราเร็วคงที่แต่ความเร็วไม่คงที่ วัตถุที่มีความเร่งเป็นศูนย์ วัตถุนั้นอาจหยุดนิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว คงที่ก็ได้

การตกอย่างอิสระ (Freely Falling) การตกอย่างอิสระ คือ การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงโดยไม่มีผลกระ ทบจากแรงอื่นๆ หรืออาจประมาณได้ว่าแรงอื่นๆ เข้ามารบกวนการเคลื่อนที่น้อยมากๆ ซึ่งจะเกิดขึ้นในกรณีที่วัตถุมีความเร็วน้อยๆ และวัตถุเคลื่อนที่เปลี่ยนระดับความสูงไม่ มากนัก ทำให้การตกอย่างอิสระเป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งค่อนข้างคงที่ วัตถุจึง เคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรงและสามารถอธิบายได้โดยการใช้สมการสำหรับการเคลื่อนที่ ใน 1 มิติภายใต้ความเร่งคงที่ ความเร่งดังกล่าวประมาณค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก ซึ่งใช้ สัญลักษณ์เป็น g และมีทิศชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางมวลของโลก (อาจประมาณได้ว่ามีทิศ ชี้ลงมาตั้งฉากกับพื้น) โดยค่า g ที่ผิวโลกมีค่าประมาณ 9.80 m/s² จากสมการ v² = u² + 2a⃑⋅s⃑ สามารถอธิบายได้ว่าในการโยนวัตถุขึ้นใน แนวดิ่ง ระยะสูงสุด (s⃑) จะขึ้นกับความเร็วต้น (u⃑) ในการโยนวัตถุเท่านั้น เนื่องจาก a⃑ = g⃑ และ v = 0 m/s เหมือนกันในทุกๆ ความเร็วต้น เพื่อให้สอดคล้องกับระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน ทาง Pinfist จะกำหนด ให้ทิศขึ้นเป็นเครื่องหมาย + (ทิศลงเป็นเครื่องหมาย -) เมื่อพิจารณาตามแนวดิ่งจะ g⃑ มีทิศเป็น -

ข้อตกลงเชิงสัญลักษณ์ x คือ ปริมาณ x ของ A เทียบกับ B (ปริมาณ x ซึ่ง B สังเกต A) AB r⃑ คือ ตำแหน่งของ A เทียบกับ B (ตำแหน่งซึ่ง B สังเกต A) AB Δr⃑ คือ การกระจัดของ A เทียบกับ B (การกระจัดซึ่ง B สังเกต A) AB v⃑ คือ ความเร็วของ A เทียบกับ B (ความเร็วซึ่ง B สังเกต A) AB a⃑ คือ ความเร่งของ A เทียบกับ B (ความเร่งซึ่ง B สังเกต A) AB A r⃑ AC r⃑ AB C r⃑ B BC จากรูปด้านบน จะได้  r⃑  = r⃑  + r⃑ AC AB BC dr⃑ dr⃑ dr⃑ AC AB BC = + dt dt dt v⃑  = v⃑  + v⃑ AC AB BC dv⃑ dv⃑ dv⃑ AC AB BC = + dt dt dt a⃑  = a⃑  + a⃑ AC AB BC x⃑ = -x⃑ เนื่องจากเวกเตอร์มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศตรงข้ามกัน AB BA ในกรณีมีผู้สังเกตเพิ่มขึ้นจะมีความสัมพันธ์ได้เป็น x⃑ = x⃑ + x⃑ + x⃑ + x⃑ AE A B BC CD D E

การที่ผู้สังเกตเห็นวัตถุมีระยะห่างเท่าเดิม นั่นแสดงว่าความเร็วสัมพัทธ์ ระหว่างวัตถุกับผู้สังเกตเป็นศูนย์