สรุป บทที่ 4

จุดศูนย์กลางมวลและศูนย์ถ่วง จุดศูนย์กลางมวล (The Center of mass, CM ; r⃑ 〚m〛) คือ ตำแหน่งเฉลี่ยของ cm มวลวัตถุ (ตำแหน่งเฉลี่ยโดยใช้มวลของวัตถุมาถ่วงน้ำหนักการเฉลี่ย) เปรียบเสมือน จุดรวมมวลของวัตถุ î ĵ k̂ r⃑ = x cm cm + y cm + z cm Σmy î ĵ k̂ Σmx Σmz ในกรณีที่มวลเป็นจุด r⃑ = + + cm M M M ∫xdm ∫ydm ∫zdm î ĵ k̂ ในกรณีที่มวลไม่เป็นจุด r⃑ = + + cm M M M จุดศูนย์ถ่วง (The Center of Gravity, CG ; r⃑ 〚m〛) คือ ตำแหน่งเฉลี่ยของน้ำ cg หนักวัตถุ (ตำแหน่งเฉลี่ยโดยใช้น้ำหนักของวัตถุมาถ่วงน้ำหนักการเฉลี่ย) เปรียบเสมือน เป็นจุดที่แรงโน้มถ่วงกระทำกับวัตถุ î ĵ k̂ r⃑ = x cg cg + y cg + z cg Σmgy Σmgx Σmgz î ĵ k̂ ในกรณีที่มวลเป็นจุด r⃑ = + + cg W W W ∫xd(mg) ∫yd(mg) ∫zd(mg) î ĵ k̂ ในกรณีที่มวลไม่เป็นจุด r⃑ = + + cg W W W m คือ จุดมวล dm คือ มวลส่วนเล็กๆ ของวัตถุที่ประมาณได้ว่าเป็นจุดมวล x, y และ z คือ ตำแหน่งของจุดมวลเทียบกับจุดกำเนิดบนแกน x, y และ z M คือ มวลรวมของวัตถุ (M = Σm หรือ M = ∫dm) g คือ ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง หรือสนามโน้มถ่วง W คือ น้ำหนักรวมของวัตถุ (W = Σmg หรือ W = ∫d(mg)) ในการอินทิเกรตอาจจะต้องมีการเปลี่ยนมวลเล็กๆ dm ให้อยู่ในรูปของความหนาแน่น λ, σ หรือ ρ ขึ้นอยู่กับลักษณะของมวล dm ดังนี้ dm 1-D ความหนาแน่นเชิงเส้น λ = ; dℓ คือ ความยาวของมวล dm dℓ dm 2-D ความหนาแน่นเชิงพื้นที่ σ = ; dA คือ พื้นที่ของมวล dm dA dm 3-D ความหนาแน่นเชิงปริมาตร ρ = ; dV คือ ปริมาตรของมวล dm dV ข้อสังเกต ศูนย์กลางมวลวัตถุไม่ขึ้นกับสถานที่ แต่ศูนย์ถ่วงวัตถุอาจขึ้นกับสถานที่ เนื่องจากในแต่ละที่อาจมีสนามโน้มถ่วงไม่คงที่ ในบริเวณสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอศูนย์ถ่วงวัตถุจะอยู่จุดเดียวกับศูนย์กลาง มวลวัตถุ ศูนย์กลางมวลของวัตถุอาจอยู่ส่วนใดของวัตถุก็ได้ หรืออาจไม่อยู่ในเนื้อของ วัตถุก็ได้ ขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของวัตถุและรูปร่างของวัตถุ

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (The Vector Product) C⃑ = A⃑×B⃑ î ĵ k̂ A⃑ = A x + A y + A z θ î ĵ k̂ B⃑ = B x + B y + B z Bsinθ จากรูปด้านบน |C⃑| = |A⃑×B⃑| = |A⃑||B⃑|sinθ และหาทิศของ C⃑ ตามกฎมือขวาจากรูปด้านบน î ĵ k̂ และ C⃑ = A⃑×B⃑ = det A A A x y z B B B x y z สมบัติบางข้อของการ cross เวกเตอร์ A⃑×B⃑ = -B⃑×A⃑ A⃑×B⃑ = 0 ; A⃑∥B⃑ î î ĵ ĵ k̂ k̂ × = × = × = 0 |A⃑×B⃑| = |A⃑||B⃑| ; A⃑⊥B⃑

โมเมนต์ของแรงและโมเมนต์ของแรงคู่ควบ โมเมนต์ของแรง (Moment of Force ; M 〚N⋅m〛) คือ ปริมาณที่บอกถึงแนวโน้มที่ ทำให้วัตถุหมุนรอบจุดหมุน หรือรอบแกนหมุนหนึ่งๆ θ r⃑ จุดหมุน O |F⃑|sinθ F⃑ M⃑ = r⃑×F⃑ → |M⃑| = |r⃑||F⃑|sinθ F⃑ คือ แรงที่พิจารณา r⃑ คือ เวกเตอร์ระยะห่างที่ชี้จากจุดหมุนมายังตำแหน่งที่แรง F กระทำ θ คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ r⃑ กับเวกเตอร์ F⃑ k̂ ทาง Pinfist จะใช้โมเมนต์ในทิศทวนเข็มนาฬิกา (Anticlockwise) เป็นทิศ + k̂ และทิศตามเข็มนาฬิกา (Clockwise) เป็นทิศ - ตามระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน (Cartesian Coordinate System) แรงคู่ควบ (Couple) คือ แรงสองแรงที่ขนานกัน ขนาดเท่ากัน แต่มีทิศตรงข้ามกัน แรงคู่ควบหนึ่งคู่จะมีแรงลัพธ์เป็นศูนย์ แต่ทำให้เกิดโมเมนต์ขึ้น โมเมนต์ของแรงคู่ควบ (Couple Moment) คือ โมเมนต์ที่เกิดจากแรงคู่ควบ F⃑ M⃑ Couple |F⃑|sinθ B θ θ d A |F⃑|sinθ F⃑ k̂ โมเมนต์รวมรอบจุด A คือ M⃑ = dFsinθ A k̂ โมเมนต์รวมรอบจุด B คือ M⃑ = dFsinθ B โมเมนต์รวมรอบจุดกึ่งกลางระหว่างจุด AB คือ k̂ k̂ k̂ d d M⃑ = ( )Fsinθ + ( )Fsinθ = dFsinθ AB 2 2 k̂ ไม่ว่าจะคิดที่จุดไหนก็จะได้ M⃑ = dFsinθ ∴ M⃑ = d⃑×F⃑ → |M⃑ | = |d⃑|F⃑|sinθ Couple Couple F⃑ คือ แรงที่พิจารณา d⃑ คือ เวกเตอร์ระยะห่างระหว่างแรงสองแรงที่มีขนาดเท่ากันและขนานกัน โดยมีทิศชี้ จาก F คู่ควบมายังตำแหน่งที่แรง F⃑ ใช้พิจารณามาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ θ คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ d⃑ กับเวกเตอร์ F⃑

รูปแบบของสมดุล สมดุลการเคลื่อนที่ (Translational Equilibrium) คือ สภาวะที่วัตถุไม่เปลี่ยนสภาพ การเคลื่อนที่ หรือมีความเร่งเป็นศูนย์ (มีความเร็วคงที่ หรืออยู่นิ่ง) a⃑ = 0 → ΣF⃑ = 0 สมดุลการหมุน (Rotational Equilibrium) คือ สภาวะที่วัตถุไม่เปลี่ยนสภาพการ หมุน หรือมีความเร่งเชิงมุม (α⃑) เป็นศูนย์ (มีความเร็วเชิงมุมคงที่ หรือไม่มีการหมุน) α⃑ = 0 → ΣM⃑ = 0 สมดุลสถิต (Static Equilibrium) คือ วัตถุอยู่นิ่งและไม่มีการหมุน สมดุลจลน์ (Dynamic Equilibrium) คือ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ หรือหมุน ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ข้อสังเกต วัตถุที่เคลื่อนที่อาจอยู่ในสมดุลของการเคลื่อนที่ได้ ถ้าวัตถุนั้นเคลื่อนที่ด้วย ความเร็วคงที่ (ความเร่งเป็นศูนย์) วัตถุที่หมุนอาจอยู่ในสมดุลของการหมุนได้ ถ้าวัตถุนั้นหมุนด้วยความเร็ว เชิงมุมคงที่ (ความเร่งเชิงมุมเป็นศูนย์) วัตถุที่อยู่ในสมดุลต่อการหมุนอาจมีแรงกระทำต่อวัตถุ โดยผลรวมของ โมเมนต์ของแรงจะเป็นศูนย์

CG สมดุลเสถียร (Stable Equilibrium) คือ สภาวะสมดุลที่เมื่อวัตถุเลื่อนตำแหน่งออก จากสมดุลเล็กน้อย วัตถุจะกลับมาสู่สมดุลเดิมได้เอง CG สมดุลสะเทิน (Neutral Equilibrium) คือ สภาวะสมดุลที่เมื่อวัตถุเลื่อนตำแหน่งออก จากสมดุลเดิม ก็ยังคงเป็นสมดุลใหม่ที่มีรูปแบบเหมือนกับสมดุลเดิม CG สมดุลไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) คือ สภาวะสมดุลที่เมื่อวัตถุเลื่อนตำแหน่ง ออกจากสมดุลเพียงเล็กน้อย วัตถุจะไม่กลับมายังสมดุลเดิมได้เองอีก ข้อสังเกต กรณีแนวแรงผ่านศูนย์กลางมวลวัตถุ วัตถุจะเคลื่อนที่โดยไม่หมุน แต่กรณี แนวแรงไม่ผ่านศูนย์กลางมวลวัตถุ วัตถุเคลื่อนที่และหมุนไปพร้อมๆ กัน วัตถุจะเริ่มล้มเมื่อแรงแนวฉากกระทำที่ขอบฐานวัตถุพอดี วัตถุที่อยู่ในสมดุลอาจมีเสถียรภาพต่ำ ถ้าศูนย์ถ่วงของวัตถุอยู่สูง หรือฐาน ของวัตถุแคบ นั่นแสดงว่าน้ำหนักของวัตถุมีผลต่อเสถียรภาพของวัตถุ