สรุป บทที่ 5

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (The Scalar Product) î ĵ k̂ A⃑ = A ² + A ² + A ² x + A y + A z → |A⃑|² = A x y z î ĵ k̂ θ B⃑ = B ² + B ² + B ² x + B y + B z → |B⃑|² = B x y z จากรูปด้านบนเราสามารถหา A⃑⋅B⃑ ได้จาก A⃑⋅B⃑ = |A⃑||B⃑|cosθ = A B + A B + A B x x y y z z ⋅ (Dot) คือ สัญลักษณ์ของการคูณเวกเตอร์แบบผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ และนิยมเรียก ผลคูณเชิงสเกลาร์ว่า “Dot Product” สมบัติบางข้อของการ dot เวกเตอร์ สมบัติการสลับที่ A⃑⋅B⃑ = B⃑⋅A⃑ สมบัติการแจกแจง C⃑⋅(A⃑ + B⃑) = C⃑⋅A⃑ + C⃑⋅B⃑ เวกเตอร์ dot ตัวเอง A⃑⋅A⃑ = A A + A A + A A x x y y z z A⃑⋅A⃑ = A ² + A ² + A ² x y z A⃑⋅A⃑ = |A⃑|² การ dot ระหว่างเวกเตอร์หนึ่งหน่วย î î ĵ ĵ k̂ k̂ การ dot กับตัวเอง ⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 î ĵ ĵ k̂ k̂ î การ dot กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยอื่น ⋅ = ⋅ = ⋅ = 0

งาน (Work) งาน (Work ; W 〚J, kg⋅m²/s²〛) หาได้จาก W = ∫F⃑⋅dr⃑ W คือ งาน F⃑ คือ แรงที่กระทำกับวัตถุ dr⃑ คือ การกระจัดในช่วงเล็กๆ ของวัตถุ การหางานจากกราฟ F(แรง) กับ r(ตำแหน่ง) F (แรงในทิศทางเดียวกับ r) W = พื้นที่ใต้กราฟ r (ตำแหน่งของวัตถุ) งานในกรณีแรงคงที่ W = F⃑⋅Δr⃑ Δr⃑ คือ การกระจัดของวัตถุ ข้อสังเกต เมื่อมีการออกแรงกระทำต่อวัตถุ อาจเกิดงานหรือไม่เกิดงานก็ได้ เครื่องหมายบวกและลบของงาน ขึ้นกับมุมระหว่างแรงกับการกระจัด

งานเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (W 〚J, kg⋅m²/s²〛) g ĵ พิจารณาวัตถุกำลังเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วง F⃑ = -mg จากตำแหน่ง r ไป g i ยังตำแหน่ง r ดังรูปด้านล่าง f r = (x , y , z ) f f f f î ĵ k̂ Δr⃑ = r⃑ - r⃑ = Δx + Δy + Δz f i mg r = (x , y , z ) i i i i mg จาก W = F⃑⋅Δr⃑ ĵ î ĵ k̂ W = (-mg )⋅(Δx + Δy + Δz ) g W = -mgΔy g เมื่อพิจารณางานเนื่องจากแรงโน้มถ่วง เห็นได้ว่างานดังกล่าวขึ้นกับการกระ จัดในแนวดิ่งเท่านั้น (Δy) ดังนั้น เมื่อย้ายวัตถุจากตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่ง งานเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะเท่ากันทุกๆ เส้นทางที่ย้ายวัตถุดังกล่าว ทำให้สรุปได้ว่า งานเนื่องจากแรงโน้มถ่วงไม่ขึ้นกับเส้นทางการเคลื่อนที่ แต่ขึ้นกับตำแหน่งเริ่มต้นและ ตำแหน่งสุดท้ายของวัตถุเท่านั้น

งานเนื่องจากแรงยืดหยุ่นของสปริง (W 〚J, kg⋅m²/s²〛) s พิจารณากราฟระหว่างแรงกับตำแหน่ง โดยให้ตอนเริ่มต้นวัตถุอยู่ตำแหน่ง x และ i ตอนสุดท้ายวัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง x ดังรูปด้านล่าง f x x i f F F = -kx x x i f x -kx i W -kx f หางานเนื่องจากแรงสปริงจาก W s = พื้นที่ใต้กราฟ F กับ x 1 W ) + (-kx ))(x - x ) s = ((-kx f i f i 2 1 W + x )(x - x ) s = - k(x f i f i 2 1 W ² - x ²) s = - k(x f i 2 หรือ หางานเนื่องจากแรงสปริงจาก r⃑ f W s = ∫ F⃑⋅dr⃑ r⃑ i x f W s = ∫ -kxdx x i x f 1 W s = - kx² | x i 2 1 W ² - x ²) s = - k(x f i 2 งานเนื่องจากแรงสปริงขึ้นกับระยะยืดหดของสปริง (x) ดังนั้นเมื่อย้ายวัตถุ จากตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งซึ่งมีระยะยืดหดของสปริงเท่ากัน งานจะเท่ากัน ดังนั้นงานเนื่องจากแรงสปริงจึงไม่ขึ้นกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ

การต่อสปริงแบบขนาน (Springs Connected in Parallel) k₁ k₂ F k₃ จาก F = F₁ + F₂ + F₃ + … + F n F = k₁x + k₂x + k₃x + … + k x n F = (k₁ + k₂ + k₃ + … + k )x n F = k x eq ∴ k = k₁ + k₂ + k₃ + … + k = Σk eq n i การต่อสปริงแบบอนุกรม (Springs Connected in Series) k₁ k₂ k₃ F จาก x = x₁ + x₂ + x₃ + … + x n F F F F F = + + + … + k k₁ k₂ k₃ k eq n 1 1 1 1 1 1 ∴ = + + + … + = Σ k k₁ k₂ k₃ k k eq n i

งานเนื่องจากแรงเสียดทาน (W 〚J, kg⋅m²/s²〛) f พิจารณาวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v⃑ โดยมีแรงปกติ n⃑ มากระทำกับวัตถุ v̂ ทำให้เกิดแรงเสียดทาน f⃑ = -μ n ดังรูปด้านล่าง k v⃑ v̂ f⃑ = -μ n k n⃑ หางานเนื่องจากแรงเสียดทานได้จาก W f = ∫ f⃑⋅dr⃑ v̂ v̂ W n )(ds ) f = ∫(-μ k W ∫nds ; ds คือ ระยะทางในช่วงเล็กๆ f = -μ k W คือ งานเนื่องจากแรงเสียดทาน f μ คือ สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ (Coefficient of Kinetic Friction) k n คือ แรงแนวฉากที่กระทำกับวัตถุ ds คือ ระยะทางในช่วงเล็กๆ ของวัตถุ หางานเนื่องจากแรงเสียดทานเมื่อแรงปกติคงที่ (n⃑ คงที่) ได้จาก W ns f = -μ k s คือ ระยะทางในการเคลื่อนที่ของวัตถุ เนื่องจากงานเนื่องจากแรงเสียดทานขึ้นกับระยะทางในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังนั้น งานเนื่องจากแรงเสียดทานจึงขึ้นกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ

กำลัง (Power) กำลัง (Power : ℘ 〚W, kg⋅m²/s³〛) ΔW กำลังเฉลี่ย ℘ av = Δt dW dr⃑ F⃑⋅ กำลัง ณ เวลาใดๆ ℘ = = = F⃑⋅v⃑ dt dt ℘ W W = พื้นที่ใต้กราฟ ℘ = ความชันของกราฟ t t

การอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยใช้มุมมองของงานและพลังงาน 1 ΣW = ΔK ; K ≡ mv² 2 ΣW คือ ผลรวมของงานทั้งหมดที่กระทำกับวัตถุ K คือ พลังงานจลน์ของวัตถุ (Kinetic Energy ; K 〚J, kg⋅m²/s²〛) m คือ มวลของวัตถุ v คือ อัตราเร็วของวัตถุ ข้อสังเกต พลังงานจลน์มีค่าเป็นบวกเท่านั้น แต่การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เป็นได้ ทั้งบวกและลบ ทฤษฎีบทงาน-พลังงานจลน์ ใช้ได้กับงานของแรงลัพธ์เท่านั้น

สมบัติของแรงอนุรักษ์ แรงอนุรักษ์ (Conservative Forces) มีสมบัติ 2 ข้อ ดังนี้ 1) งานที่เกิดจากแรงอนุรักษ์ที่กระทำต่ออนุภาคที่เคลื่อนที่ระหว่างจุดสองจุดใดๆ จะไม่ขึ้นกับเส้นทางของการเคลื่อนที่ระหว่างจุดสองจุดนั้น 2) งานเนื่องจากแรงอนุรักษ์ที่กระทำต่ออนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นเส้นทางปิดใดๆ (วนกลับ มาจุดเดิม หรือจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย คือ จุดเดียวกัน) จะเป็นศูนย์ ข้อสังเกต การเปลี่ยนพลังงานศักย์โน้มถ่วงของวัตถุและการเปลี่ยนพลังงานศักย์ยืดหยุ่น ไม่ขึ้นกับเส้นทางการเคลื่อนที่ ดังนั้นแรงโน้มถ่วง (F⃑ ) และแรงเนื่องจากสปริง (F⃑ ) g s จึงเป็นแรงอนุรักษ์

การอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยใช้มุมมองของพลังงานกล 1 นิยามพลังงานจลน์ในการเคลื่อนที่ K ≡ mv² 2 นิยามพลังงานศักย์ ΣW ≡ -ΔU C พลังงานศักย์แรงโน้มถ่วง U = mgy g 1 พลังงานศักย์ยืดหยุ่น U = kx² s 2 การอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยใช้มุมมองของพลังงานกลได้จาก ΣW = ΔE ; E = K + U NC ΣW คือ ผลรวมของงานเนื่องจากแรงไม่อนุรักษ์ทั้งหมดที่กระทำกับวัตถุ NC E คือ พลังงานกลของวัตถุ (Mechanical Energy) K คือ พลังงานจลน์ของวัตถุ (Kinetic Energy) U คือ พลังงานศักย์ของวัตถุ (Potential Energy) เมื่อพิจารณาระบบซึ่งมีผลรวมของงานเนื่องจากแรงไม่อนุรักษ์เป็นศูนย์ จะได้ ΣW NC = ΔE 0 = E - E f i E = E f i กฎการอนุรักษ์พลังงานกล (Law of Conservation of Mechanical Energy) E = E ; ΣW = 0 f i NC ข้อสังเกต พลังงานศักย์ขึ้นกับตำแหน่งของวัตถุ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ออกห่างจากพื้นโลกมากขึ้น วัตถุยิ่งมีพลังงานศักย์โน้มถ่วง มากขึ้น วัตถุที่ถูกทำให้ยืดตัวออกหรือหดตัวลงจะมีพลังงานศักย์ยืดหยุ่น พลังงานศักย์ยืดหยุ่นมีค่าเป็นบวกเท่านั้น และตำแหน่งอ้างอิงของวัตถุต้องอยู่ ที่ตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์มักเกี่ยวข้องกับวัตถุสองชิ้น พลังงานศักย์จึงเป็นของระบบซึ่ง ประกอบด้วยวัตถุสองก้อนขึ้นไป เมื่อวัตถุเคลื่อนที่อาจจะมีพลังงานในวัตถุเท่าเดิม หรือพลังงานของวัตถุอาจ เปลี่ยนไปเป็นพลังงานชนิดอื่นและถ่ายโอนไปที่อื่น

แผนภาพพลังงานและสมดุลของระบบ พิจารณาระบบซึ่งมีแต่แรงอนุรักษ์ W = W C ∫F⃑⋅dr⃑ = -ΔU dU r̂ F⃑ = - dr ∴ แรง คือ ค่าลบของความชันของกราฟพลังงานศักย์กับตำแหน่งของวัตถุ ดังนั้น ตำแหน่งที่กราฟมีความชันเป็นศูนย์จึงเป็นตำแหน่งที่วัตถุมีแรงมากระทำเป็นศูนย์ นั่นคือ ตำแหน่งสมดุลของวัตถุ U สมดุลแบบไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) คือ บริเวณจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของกราฟ สมดุลแบบสะเทิน (Neutral Equilibrium) คือ บริเวณที่กราฟขนานไปกับแกนตำแหน่ง (แกนนอน) สมดุลแบบเสถียร (Stable Equilibrium) คือ บริเวณจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของกราฟ r

เครื่องกลอย่างง่าย (Simple Machine) เครื่องกลอย่างง่าย คือ อุปกรณ์หรือกลไกพื้นฐานที่ใช้เปลี่ยนทิศทางหรือ ขนาดของแรงเพื่อให้ทำงานได้สะดวกขึ้น โดยงานที่ทำกับเครื่องกลไม่เปลี่ยนแปลง การได้เปรียบเชิงกล (Mechanical Advantage ; MA) F out MA = F in F คือ แรงที่ได้รับจากเครื่องกล out F คือ แรงที่กระทำให้กับเครื่องกล in ประสิทธิภาพเชิงกล (Mechanical Efficiency ; ME) W out ME = W in W คือ งานที่ได้รับจากเครื่องกล out W คือ งานที่กระทำให้กับเครื่องกล in ข้อสังเกต เครื่องกลจะช่วยผ่อนแรง แต่งานที่ทำให้กับเครื่องกลยังเท่าเดิม ในเวลาเท่ากัน เครื่องกลที่มีกำลังเฉลี่ยมากกว่าจะทำงานได้มากกว่า