สรุป บทที่ 7

การเคลื่อนที่ใน 2 มิติ และ 3 มิติ แนวคิดที่สำคัญในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ใน 2 และ 3 มิติ คือ การ วิเคราะห์แบบแยกองค์ประกอบในแต่ละแกน (วิเคราะห์แบบแยกแกน) และใช้เวลา Δt ร่วมกันในแต่ละแกน î ĵ k̂ การกระจัด s⃑ = Δr⃑ = Δx + Δy + Δz Δy ĵ î k̂ Δx Δz ความเร็วเฉลี่ย v⃑ = + + av Δt Δt Δt dy ĵ î k̂ dx dz ความเร็วขณะหนึ่ง v⃑ = + + dt dt dt î ĵ k̂ v⃑ = v x + v y + v z î ĵ k̂ Δv Δv Δv x y z ความเร่งเฉลี่ย a⃑ = + + av Δt Δt Δt î ĵ k̂ dv dv dv x y z ความเร่งขณะหนึ่ง a⃑ = + + dt dt dt î ĵ k̂ a⃑ = a x + a y + a z ข้อสังเกต ความเร็วจะมีพฤติกรรมเปลี่ยนทิศทางเข้าหาทิศทางของความเร่ง ดังนั้นใน กรณีที่วัตถุมีความเร็วขนานกับความเร่ง วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง แต่ในกรณีที่ วัตถุมีความเร็วไม่ขนานกับความเร่ง วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้ง

ทบทวนการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ x คือ ปริมาณ x ของ A เทียบกับ B (ปริมาณ x ซึ่ง B สังเกต A) AB r⃑ คือ ตำแหน่งของ A เทียบกับ B (ตำแหน่งซึ่ง B สังเกต A) AB Δr⃑ คือ การกระจัดของ A เทียบกับ B (การกระจัดซึ่ง B สังเกต A) AB v⃑ คือ ความเร็วของ A เทียบกับ B (ความเร็วซึ่ง B สังเกต A) AB a⃑ คือ ความเร่งของ A เทียบกับ B (ความเร่งซึ่ง B สังเกต A) AB A r⃑ AC r⃑ AB C r⃑ B BC จากรูปด้านบน จะได้  r⃑  = r⃑  + r⃑ AC AB BC dr⃑ dr⃑ dr⃑ AC AB BC = + dt dt dt v⃑  = v⃑  + v⃑ AC AB BC dv⃑ dv⃑ dv⃑ AC AB BC = + dt dt dt a⃑  = a⃑  + a⃑ AC AB BC x⃑ = -x⃑ เนื่องจากเวกเตอร์มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศตรงข้ามกัน AB BA ในกรณีมีผู้สังเกตเพิ่มขึ้นจะมีความสัมพันธ์ได้เป็น x⃑ = x⃑ + x⃑ + x⃑ + x⃑ AE A B BC CD D E

การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ (Projectile Motion) แนวคิดที่ใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ คือ การแยกองค์ ประกอบของเวกเตอร์ในแบบเดียวกับการเคลื่อนที่แบบ 2 มิติ ซึ่งการวิเคราะห์แบบ แยกองค์ประกอบนี้เหมือนกับเป็นการพิจารณาภาพฉายเงา(Projection) ของเวกเตอร์ มายังแกนหลัก (x y และ z) v = 0 y v = ucosθ x usinθ u g ucosθ θ ในกรณีการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์อย่างง่าย (เคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้ม ถ่วงเท่านั้น) เงาของวัตถุบนแกนนอนจะเคลื่อนที่แบบความเร็วคงที่ และเงาของวัตถุบน แกนตั้งจะเคลื่อนที่แบบการตกอย่างอิสระ ข้อสังเกต ความเร็วของวัตถุที่จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีค่าไม่เป็น ศูนย์ แต่มีค่าเท่ากับความเร็วในแนวระดับ

ข้อสังเกต ความเร็วของวัตถุที่จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีค่าไม่เป็น ศูนย์ แต่มีค่าเท่ากับความเร็วในแนวระดับ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ อัตราเร็วขาขึ้นกับขาลงของวัตถุจะเท่ากันที่ ระดับความสูงเท่ากัน ยิงวัตถุแบบโพรเจกไทล์ด้วยมุม 45º วัตถุจะไปตกไกลสุดที่ระดับแนวที่ยิง วัตถุเท่านั้น ถ้าเป็นระยะที่สูงกว่าหรือต่ำกว่าระดับแนวที่ยิงวัตถุ วัตถุจะตกไกลสุดที่ มุมยิงที่ไม่ใช่ 45º ยิงวัตถุแบบโพรเจกไทล์ด้วยคู่มุมที่มีผลรวมเท่ากับ 90º วัตถุจะไปตกที่ ระยะเท่ากันในระดับแนวที่ยิงวัตถุ แต่อาจใช้เวลาในการเคลื่อนที่ไม่เท่ากัน

คาบ ความถี่ และอัตราเร็ว คาบ (Period ; T 〚s〛) คือ ช่วงเวลาที่่ใน 1 รอบของกิจกรรมที่สนใจ ความถี่ (Frequency ; f 〚Hz, s⁻¹〛) คือ จำนวนรอบของกิจกรรมที่สนใจใน 1 ช่วงเวลา 1 จากความหมายของคาบและความถี่ จะได้ f = T อัตราเร็วของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอได้ ระยะทางใน 1 รอบ 2πr v = = = 2πrf T เวลาในการเคลื่อนที่ 1 รอบ (คาบ) r คือ รัศมีในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ข้อสังเกต แกว่งเชือกติดกับวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม ถ้าเชือกขาดวัตถุจะเคลื่อนที่ต่อ ไปในแนวสัมผัสกับเส้นโค้งของวงกลม ณ ตำแหน่งที่เชือกขาด

มุม และอัตราเร็วเชิงมุม การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอนั้นอาจสะดวกมากขึ้นเมื่อใช้มุมมองใน เชิงมุม หรือระบบพิกัดแบบเชิงขั้ว (Polar Coordinate System) ซึ่งบอกตำแหน่ง ของวัตถุเป็นระยะห่างจากจุดกำเนิด r และมุมกวาดทวนเข็มนาฬิกาเทียบกับแกน อ้างอิง θ ดังรูปในหน้าต่อไป (r, θ) r s θ แกนอ้างอิง (นิยมใช้เป็นแกน x) จากรูปด้านบน นิยามมุม (Angular ; θ 〚rad (ไม่มีมิติ)〛) ดังนี้ s θ = r θ คือ มุม โดย หน่วยเรเดียน (Radian 〚rad〛) เทียบได้ว่า π rad = 180° s คือ ความยาวของส่วนเส้นโค้งของวงกลม r คือ รัศมีของวงกลม นิยาม อัตราเร็วเชิงมุม (Angular Speed ; ω 〚rad/s, Hz, s⁻¹〛) ดังนี้ Δθ ω = av Δt พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ ณ เวลาใดๆ dθ ω = dt ds ω = rdt ds v จาก v = จะได้ ω หรือ v = ωr = r dt พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอในหนึ่งรอบการเคลื่อนที่ Δθ 2π ω = ω = = = 2πf av T Δt

ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง (Centripetal Acceleration) v² เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอจะมีความเร่งขนาด หรือ ω²r r โดยมีทิศชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง (Centripetal Acceleration ; a⃑ 〚m/s²〛) เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ c v² r̂ r̂ a⃑ = (- ) = ω²r(- ) c r v คือ อัตราเร็วของวัตถุ r คือ รัศมีของวงกลม ω คือ อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ - r̂ บอกว่า a⃑ มีทิศชีิ้เข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม c ข้อสังเกต วัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยรัศมีและอัตราเร็วสม่ำเสมอเป็นการเคลื่อนที่ โดยมีความเร่งที่มีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ โดยความเร่งดังกล่าวมี ขนาดคงที่ แต่ทิศทางไม่คงที่

ความเร่งในแนวเส้นสัมผัสและในแนวรัศมี ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้งและไม่ได้เป็นวงกลมแบบสม่ำเสมอ สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ดังกล่าวโดยวิธีแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์บนแนวรัศมี และแนวเส้นสัมผัสของวงกลม ซึ่งวงกลมดังกล่าวถูกสร้างมาให้สัมผัสกับเส้นทางการ เคลื่อนที่ของวัตถุในช่วงเล็กๆ ดังรูปด้านล่าง a⃑ t θ a⃑ a⃑ c ˄θ -  v² dv r̂ จากรูปด้านบน a⃑ = a⃑ + a⃑ = t c r dt ˄θ dv โดยที่ a⃑ = t dt v² r̂ a⃑ = - c r |a⃑ | c |a⃑| = |a⃑ |² + |a⃑ |² และ tanθ = t c |a⃑ | t a⃑ คือ ความเร่งของวัตถุ a⃑ คือ ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง หรือความเร่งในแนวรัศมี (Radial Acceleration) c a⃑ คือ ความเร่งในแนวเส้นสัมผัส (Tangential Acceleration) t v คือ อัตราเร็วของวัตถุ r คือ รัศมีของวงกลม θ คือ มุมของความเร่งของวัตถุเทียบกับแนวเส้นสัมผัสของวงกลม ˄θ บอกว่ามีทิศชีิ้ทวนเข็มนาฬิกาตามแนวเส้นสัมผัสของวงกลม - r̂ บอกว่ามีทิศชีิ้เข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม

แรงปลอม (Fictitious Force) แรงปลอม (Fictitious Force ; F⃑ 〚N〛) คือ แรงซึ่งเกิดจากความเร่งของกรอบ f อ้างอิงของผู้สังเกต เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ F⃑ = -ma⃑ f O′O a mO′ ma F O′O m m คือ มวลของวัตถุซึ่งถูกสังเกต a คือ ความเร่งของผู้สังเกตเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย O′O

แรงเข้าสู่ศูนย์กลาง และแรงหนีศูนย์กลาง สำหรับผู้สังเกตในกรอบเฉื่อย v² (- r̂ ) จะเห็นวัตถุมีความเร่งเป็น a⃑ = = ω²r(- r̂ ) c r mv² r̂ r̂ และวัตถุมีแรงลัพธ์เป็น ΣF⃑ = F⃑ = - = -mω²r c r F⃑ คือ แรงเข้าสู่ศูนย์กลาง (Centripetal Force) c m คือ มวลของวัตถุ a⃑ คือ ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง c v คือ อัตราเร็วของวัตถุ r คือ รัศมีของวงกลม ω คือ อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ - r̂ บอกว่ามีทิศชีิ้เข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม สำหรับวัตถุ หรือ ผู้สังเกตที่มีความเร่งเท่ากับวัตถุ จะเห็นวัตถุมีความเร่งเป็น a⃑ = 0 mv² r̂ r̂ และรู้สึกถึงแรงปลอมเป็น F⃑ = = mω²r fc r F⃑ คือ แรงหนีศูนย์กลาง (Centrifugal Force) fc m คือ มวลของวัตถุ v คือ อัตราเร็วของวัตถุ r คือ รัศมีของวงกลม ω คือ อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ r̂ บอกว่ามีทิศชีิ้ออกจากจุดศูนย์กลางของวงกลม ข้อสังเกต ในมุมมองของกรอบอ้างอิงเฉื่อยวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะมีแรงลัพธ์กระทำ ในทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลาง เรียกแรงลัพธ์นี้ว่าแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง แต่ในมุมมองของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ วัตถุจะรับรู้ถึงแรง ปลอม เรียกแรงปลอมนี้ว่าแรงหนีศูนย์กลาง ทำให้แรงลัพธ์และความเร่งที่วัตถุรับรู้นั้น เท่ากับศูนย์

ทบทวนกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน GmM GMm 🌕 F = F = m M mM Mm r² r² 🌏 r Gm₁m₂ r̂ F⃑₁₂ = (- ₁₂) r² F⃑₁₂ คือ แรงที่มวล m₁ กระทำกับมวล m₂ m₁ และ m₂ คือ มวลของวัตถุที่มีแรงดึงดูดระหว่างกัน r̂ ₁₂ คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ชี้จากมวล m₁ ไปยังมวล m₂ และเครื่องหมายลบ (-) บอกว่าแรงมีทิศทางดึงมวลทั้งสองเข้าหากัน (ชี้เข้ามามวล m₁) G คือ ค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากล (Universal Gravitational Constant) ใน ปัจจุบันยอมรับกันที่ประมาณ 6.67408×10⁻¹¹ N⋅m²/kg²

ข้อสังเกต ดาวเทียมค้างฟ้าทั้งหมดจะต้องมีรัศมีโคจรใกล้เคียงกัน

วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid Object) วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid Object) คือ วัตถุที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง นั่นคือตำแหน่งสัมพัทธ์ของอนุภาคทั้งหมดในวัตถุจะคงที่ มุม, อัตราเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุม มุม (Angular : θ 〚rad : ไม่มีมิติ〛) s θ = r θ คือ มุม โดย หน่วยเรเดียน (Radian : 〚rad〛) เทียบได้ว่า π rad = 180° s คือ ความยาวของส่วนเส้นโค้งของวงกลม r คือ รัศมีของวงกลม -1 อัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ย (Average Angular Speed : ω 〚rad/s, Hz, s 〛) av Δθ ω = av Δt อัตราเร็วเชิงมุม ณ เวลาหนึ่ง (Instantaneous Angular Speed : ω 〚rad/s, dθ -1 Hz, s 〛) ω = dt ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ย (Average Angular Acceleration : α 〚rad/s², s⁻²〛) av Δω α av = Δt ความเร่งเชิงมุม ณ เวลาหนึ่ง (Instantaneous Angular Acceleration : α dω 〚rad/s², s⁻²〛) α = dt การกระจัดในเชิงมุม (Δθ) นั้นไม่ใช่เวกเตอร์ แต่ถ้าพิจารณากรณีการกระจัดเชิงมุม ที่น้อยมากๆ เราสามารถมองว่าเป็นเวกเตอร์ได้ (dθ⃑) ดังนั้นเราจะมองว่า ω⃑ และ α⃑ เป็นเวกเตอร์ด้วยเช่นกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเชิงมุมกับเชิงเส้น s θ = หรือ s = rθ r v ω = หรือ v = rω r a α = หรือ a = rα r θ คือ มุม s คือ ความยาวของส่วนเส้นโค้งของวงกลม r คือ รัศมีของวงกลม ω คือ อัตราเร็วเชิงมุม α คือ ความเร่งเชิงมุม

การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งภายใต้ความเร่งเชิงมุมคงที่ เนื่องจากนิยามของปริมาณเชิงมุมนั้นเหมือนกับปริมาณเชิงเส้น จึงได้ 5 สมการ สำหรับอธิบายการเคลื่อนที่ในกรณีที่ความเร่งเชิงมุมคงที่เหมือนกับกรณีที่ความเร่งคงที่ v⃑ = u⃑ + a⃑t ⋯⋯⋯ (s⃑) → ω⃑ = ω⃑₀ + α⃑t ⋯⋯⋯ (θ⃑) (ω⃑ + ω⃑₀)t (v⃑ + u⃑)t s⃑ = ⋯⋯⋯ (a⃑) → θ⃑ = ⋯⋯⋯ (α⃑) 2 2 1 1 s⃑ = u⃑t + a⃑t² ⋯⋯⋯ (v⃑) → θ⃑ = ω⃑₀t + α⃑t² ⋯⋯⋯ (ω⃑) 2 2 1 1 s⃑ = v⃑t - a⃑t² ⋯⋯⋯ (u⃑) → θ⃑ = ω⃑t - α⃑t² ⋯⋯⋯ (ω⃑₀) 2 2 v² = u² + 2a⃑⋅s⃑ ⋯⋯⋯ (t) → ω² = ω⃑₀² + 2α⃑⋅θ⃑ ⋯⋯⋯ (t) θ⃑ คือ การกระจัดเชิงมุมที่เวลา t ω⃑ คือ อัตราเร็วเชิงมุมที่เวลา t (อัตราเร็วเชิงมุมปลาย) ω⃑₀ คือ อัตราเร็วเชิงมุมที่เวลา 0 (อัตราเร็วเชิงมุมต้น) α⃑ คือ ความเร่งเชิงมุม (คงที่) t คือ เวลา

ทบทวนผลคูณเชิงเวกเตอร์ (The Vector Product) C⃑ = A⃑×B⃑ î ĵ k̂ A⃑ = A x + A y + A z θ î ĵ k̂ B⃑ = B x + B y + B z Bsinθ จากรูปด้านบน |C⃑| = |A⃑×B⃑| = |A⃑||B⃑|sinθ และหาทิศของ C⃑ ตามกฎมือขวาจากรูปด้านบน î ĵ k̂ และ C⃑ = A⃑×B⃑ = det A A A x y z B B B x y z สมบัติบางข้อของการ cross เวกเตอร์ A⃑×B⃑ = -B⃑×A⃑ A⃑×B⃑ = 0 ; A⃑∥B⃑ î î ĵ ĵ k̂ k̂ × = × = × = 0 |A⃑×B⃑| = |A⃑||B⃑| ; A⃑⊥B⃑

ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อย ทอร์ก (Torque : τ⃑ 〚N·m, kg·m²/s²〛) τ⃑ = r⃑×F⃑ F⃑ คือ แรงที่มากระทำกับวัตถุ r⃑ คือ เวกเตอร์ที่ชี้จากจุดหมุนไปยังตำแหน่งที่แรง F⃑ มากระทำ โมเมนต์ความเฉื่อย (Moments of Inertia : I 〚kg·m²〛) กรณีจุดมวล I = Σmr² กรณีวัตถุรูปทรงใดๆ I = ∫r²dm m คือ มวลของวัตถุ dm คือ ส่วนเล็กๆ มวลวัตถุ จนประมาณได้ว่าเป็นจุดมวล r คือ ระยะห่างจากแกนหมุน ในการอินทิเกรตอาจจะต้องมีการเปลี่ยนมวลเล็กๆ dm ให้อยู่ในรูปของความหนาแน่น λ, σ หรือ ρ ขึ้นอยู่กับลักษณะของมวล dm ดังนี้ dm 1-D ความหนาแน่นเชิงเส้น λ = ; dℓ คือ ความยาวของมวล dm dℓ dm 2-D ความหนาแน่นเชิงพื้นที่ σ = ; dA คือ พื้นที่ของมวล dm dA dm 3-D ความหนาแน่นเชิงปริมาตร ρ = ; dV คือ ปริมาตรของมวล dm dV กฎนิวตันในเชิงมุม Στ⃑ = Iα⃑

ทฤษฎีแกนขนาน (Parallel-Axis Theorem) I = I₀ + Md² I คือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนใหม่ซึ่งเลื่อนขนานมาจากเดิม I₀ คือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวล M คือ มวลของวัตถุ d คือ ระยะซึ่งเลื่อนขนานจากจุดศูนย์กลางมวลของแกนหมุน

เงื่อนไขของสมดุล สมดุลการเคลื่อนที่ (Translational Equilibrium) a⃑ = 0 หรือ ΣF⃑ = 0 สมดุลการหมุน (Rotational Equilibrium) α⃑ = 0 หรือ Στ⃑ = 0

งาน พลังงานจลน์ และกำลังในการหมุน งานในการหมุน (Rotational Work : W 〚J, kg·m²/s²〛) W = ∫τ⃑·dθ⃑ τ⃑ คือ ทอร์ก dθ⃑ คือ การกระจัดเชิงมุมส่วนเล็กๆ พลังงานจลน์ในการหมุน (Rotational Kinetic Energy : K 〚J, kg·m²/s²〛) r 1 K = Iω² r 2 I คือ โมเมนต์ความเฉื่อย ω คือ อัตราเร็วเชิงมุม กำลังในการหมุน (Rotational Power : ℘ 〚W, kg⋅m²/s³〛) ΔW กำลังเฉลี่ย ℘ = av Δt dW กำลัง ณ เวลาใดๆ ℘ = dt dθ⃑ กำลังในกรณีวัตถุมีความเร็วเชิงมุมคงที่ ℘ = = τ⃑·ω⃑ τ⃑⋅ dt

การเคลื่อนที่แบบกลิ้งของวัตถุแข็งเกร็ง การเคลื่อนที่แบบกลิ้งของวัตถุแข็งเกร็ง คือ การที่วัตถุแข็งเกร็งมีการเคลื่อนที่และหมุน เกิดขึ้นพร้อมกัน ดังนั้นการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบนี้จะต้องวิเคราะห์ข้อมูลการ เคลื่อนที่ในเชิงเส้นและเชิงมุมร่วมกัน เช่น การคิดพลังงานจลน์ของวัตถุจะต้องคิด พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล (K ) และพลังงานจลน์ของการ t หมุนรอบแกนหมุน (K ) รวมกัน r K = K + K t r 1 1 K = mv ² + Iω² cm 2 2

โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum) โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum ; L⃑ 〚kg⋅m²/s〛) คือ ปริมาณทางฟิสิกส์ เชิงเวกเตอร์ซึ่งบอกถึงความสามารถในหมุนรอบแกนหมุนของวัตถุ dL⃑ L⃑ = Iω⃑ = r⃑×p⃑ และ Στ⃑ = dt I คือ โมเมนต์ความเฉื่อย ω⃑ คือ อัตราเร็วเชิงมุม r⃑ คือ เวกเตอร์ที่ชี้จากแกนหมุนไปยังตำแหน่งของวัตถุ p⃑ คือ โมเมนตัมเชิงเส้น τ⃑ คือ ทอร์ก t คือ เวลา

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เมื่อทอร์กลัพธ์ที่กระทำกับระบบเป็นศูนย์ (ระบบอยู่ในสมดุลการหมุน) โมเมนตัม เชิงมุมรวมของระบบจะอนุรักษ์ (โมเมนตัมเชิงมุมรวมของระบบจะคงที่ตลอดเวลา) เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ เมื่อ Στ⃑ = 0 จะได้ว่า ΣL⃑ = ΣL⃑ f i Στ⃑ คือ ทอร์กลัพธ์ของระบบ ΣL⃑ คือ โมเมนตัมเชิงมุมรวมของระบบในตอนสุดท้ายที่พิจารณา f ΣL⃑ คือ โมเมนตัมเชิงมุมรวมของระบบในตอนเริ่มต้นที่พิจารณา i หนึ่งในรูปแบบปัญหาที่นิยมใช้การอนุรักษ์เชิงมุมมาแก้ปัญหา คือ ปรากฏการณ์ที่ ระบบมีการเปลี่ยนรูปร่างตัวเองโดยไม่มีแรงจากภายนอกมากระทำ