← บทที่ 8 · การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

สรุป บทที่ 8

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย · 5 หัวข้อ ตัดมาจากกรอบสรุปในคู่มือ

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion) เมื่อสมการอยู่ในรูป a_{x}+ ω₀²x = 0 หรือ a_{x}= -\omega ₀^{2}x; ω₀ คงที่ ∴ x จะเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีผลเฉลยเป็น x = Acos(\omega ₀t + φ)หรือ x = Asin(ω₀t + φ) v = -\omega ₀Asin(\omega ₀t + φ)v = \omega ₀Ac — การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion ; SHM) · ดูในคู่มือ หน้า 4

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion ; SHM) · ดูในคู่มือ หน้า 4

อ่านเป็นข้อความ

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion) เมื่อสมการอยู่ในรูป a + ω₀²x = 0 หรือ a = -ω₀²x ; ω₀ คงที่ x x ∴ x จะเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีผลเฉลยเป็น x = Acos(ω₀t + φ) หรือ x = Asin(ω₀t + φ) v = -ω₀Asin(ω₀t + φ) v = ω₀Acos(ω₀t + φ) a = -ω₀²Acos(ω₀t + φ) a = -ω₀²Asin(ω₀t + φ) t คือ เวลา x คือ การกระจัดของวัตถุเทียบกับตำแหน่งสมดุลที่เวลา t ใดๆ v คือ ความเร็วของวัตถุที่เวลา t ใดๆ a คือ ความเร่งของวัตถุที่เวลา t ใดๆ A คือ แอมพลิจูดในการเคลื่อนที่ φ คือ เฟสเริ่มต้น 2π ω₀ คือ ความถี่เชิงมุม (คงที่) โดย ω₀ = = 2πf T T คือ คาบในการเคลื่อนที่ของวัตถุ f คือ ความถี่ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของความเร็วกับการกระจัดของวัตถุ A² - x² v = ω₀ v คือ ขนาดความเร็วของวัตถุ x คือ การกระจัดของวัตถุเทียบกับตำแหน่งสมดุล ข้อสังเกต ตำแหน่งสมดุล คือ ตำแหน่งซึ่งมีแรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ และ ความเร่งของวัตถุเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คือ การเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ำ รอยเดิมผ่านตำแหน่งสมดุล โดยมีคาบและแอมพลิจูดคงที่ การกระจัดและความเร่งของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีทิศตรง ข้ามกันเสมอ ความเร่ง ความเร็ว และการกระจัด ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง ง่ายไม่คงที่ การกระจัดและความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอาจมีทิศ เดียวกันหรือตรงข้ามกันก็ได้ คาบของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายไม่ขึ้นกับแอมพลิจูด อาจใช้ผลเฉลยในรูป x(t) = Acos(ω₀t) + Bsin(ω₀t) เมื่อ A และ B เป็นค่าคงที่

การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริง วัตถุติดสปริงจะเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมี ω₀ = \sqrt{\frac{k}{m}} T คือ คาบในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}} f คือ ความถี่ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} พลังงานงานกลของวัตถุคงที่E=\frac — การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริง (Motion of an Object Attached to a Spring) · ดูในคู่มือ หน้า 17

อ่านเป็นข้อความ

การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริง k วัตถุติดสปริงจะเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมี ω₀ = m m T คือ คาบในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย T = 2π k k 1 f คือ ความถี่ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย f = m 2π 1 พลังงานงานกลของวัตถุคงที่ E = kA² 2 E คือ พลังงานกลของวัตถุ k คือ ค่าคงที่ของสปริง A คือ แอมพลิจูดในการเคลื่อนที่

การแก่วงของลูกตุ้มอย่างง่าย ลูกตุ้มอย่างง่ายเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมี ω₀ = \sqrt{\frac{g}{\ell}} f คือ ความถี่ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} T คือ คาบในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย T = 2π\sqrt{\frac{\ell}{g}} พลังงานงานกลของวัตถุคงที — ลูกตุ้มอย่างง่าย (Simple Pendulum) · ดูในคู่มือ หน้า 34

อ่านเป็นข้อความ

การแก่วงของลูกตุ้มอย่างง่าย g ลูกตุ้มอย่างง่ายเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมี ω₀ = ℓ g 1 f คือ ความถี่ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย f = 2π ℓ ℓ T คือ คาบในการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย T = 2π g mgA² 1 A 1 พลังงานงานกลของวัตถุคงที่ E = = mgℓ( )² = mgℓθ₀² 2 2 ℓ 2ℓ E คือ พลังงานกลของวัตถุ m คือ มวลของวัตถุ g คือ ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง A คือ แอมพลิจูดในการเคลื่อนที่ ℓ คือ ระยะห่างระหว่างวัตถุกับจุดหมุน θ₀ คือ แอมพลิจูดของมุมในการเคลื่อนที่ ข้อสังเกต คาบการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่ายไม่ขึ้นกับมวล และไม่ขึ้นกับมุมปล่อยเริ่มต้น (ขึ้นกับความยาวเชือก และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง)

การสั่นภายใต้ความหน่วง (Damped Oscillations) เมื่อสมการอยู่ในรูป \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+ 2\gamma \frac{dx}{dt} + ω₀²x = 0 ผลเฉลยเป็นไปได้ 3 กรณี ดังนี้ _{Underdamped (\gamma < \omega ₀)} _{x(t) = A(t)\cos (\omega t + φ)} _{เมื่อ ω =}\sqrt{_{\omega ₀^{2} - \gamma ^{2}}}_{และ φ — การสั่นภายใต้ความหน่วง (Damped Oscillations) · ดูในคู่มือ หน้า 49

อ่านเป็นข้อความ

การสั่นภายใต้ความหน่วง (Damped Oscillations) d²x dx เมื่อสมการอยู่ในรูป + 2γ + ω₀²x = 0 ผลเฉลยเป็นไปได้ 3 กรณี ดังนี้ dt² dt x Underdamped (γ < ω₀) x(t) = A(t)cos(ωt + φ) ω₀² - γ² เมื่อ ω = และ φ คือ เฟสเริ่มต้น -γt A(t) = Ae t Critically damped (γ = ω₀) -γt x(t) = (A + Bt)e เมื่อ A และ B คือ ค่าคงที่ Overdamped (γ > ω₀) -(γ - γ² - ω₀²)t -(γ + γ² - ω₀²)t x(t) = Ae + Be เมื่อ A และ B คือ ค่าคงที่

การเคลื่อนที่แบบการสั่นซึ่งมีแรงในรูป F₀sin(ωt) เพิ่มเข้ามา เมื่อสมการอยู่ในรูป \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+ 2\gamma \frac{dx}{dt}+ \omega ₀^{2}x =\frac{F₀}{m}\sin (\omega t) ผลเฉลยของสมการ คือ x(t) = Acos(ωt + φ) เมื่อ A =\frac{F₀}{m(\omega ^{2} - \omega ₀^{2})^{2} + 4\gamma ^{2}\om — การสั่นภายใต้แรงกระทำ (Forces Oscillations) · ดูในคู่มือ หน้า 56

อ่านเป็นข้อความ

การเคลื่อนที่แบบการสั่นซึ่งมีแรงในรูป F₀sin(ωt) เพิ่มเข้ามา F₀ d²x dx เมื่อสมการอยู่ในรูป + 2γ + ω₀²x = sin(ωt) m dt² dt ผลเฉลยของสมการ คือ x(t) = Acos(ωt + φ) F₀ เมื่อ A = m (ω² - ω₀²)² + 4γ²ω² b γ = 2m k ω₀ = m และ φ คือ เฟสเริ่มต้น ข้อสังเกต เมื่อมีแรงมากระทำ วัตถุจะสั่นด้วยแอมพลิจูดสูงสุดเมื่อ ω = ω₀ เรียก ปรากฏการณ์นี้ว่า “การสั่นพ้อง (Resonance)” และเรียกความถี่ของแรงที่มากระทำ กับระบบซึ่งตรงกับความถี่ธรรมชาติของระบบว่า “ความถี่เรโซแนนซ์ (Resonance Frequency)” เมื่อลูกตุ้มขนาดใหญ่แกว่งจะทำให้ลูกตุ้มขนาดเล็กแกว่งตาม โดยลูกตุ้ม ขนาดเล็กที่มีความยาวเชือกใกล้เคียงกับลูกตุ้มใหญ่จะแกว่งกว้างที่สุด