สรุป บทที่ 13

สมบัติของประจุไฟฟ้า 1. ประจุไฟฟ้ามีสองชนิด คือ ประจุบวกและประจุลบ เมื่อประจุต่างกันมาพบกันจะมี แรงดึงดูดเข้าหากัน และเมื่อประจุชนิดเดียวกันมาพบกันจะมีแรงผลักออกจากกัน 2. ประจุไฟฟ้าอนุรักษ์ในระบบโดดเดี่ยว (Isolated System) 3. ขนาดของประจุไฟฟ้าเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง (เป็นจำนวนเท่าของขนาดประจุอิเล็กตรอน) ปรากฏการณ์ไตรโบอิเล็กทริก (Triboelectric Effect) เมื่อวัตถุเสียดสีกันจะทำให้เกิดการถ่ายโอนอิเล็กตรอน ซึ่งวัสดุแต่ละชนิดจะ มีความสามารถในการรับและเสียอิเล็กตรอนแตกต่างกัน ดังรูปด้านล่าง สูญเสียอิเล็กตรอนได้ง่าย สะสมอิเล็กตรอนได้ดี อากาศ ผิวหนังมนุษย์ แก้ว ไนลอน ผ้าฝ้าย กระดาษ เหล็ก ไม้ ทองแดง ทองคำ ยางธรรมชาติ เทฟลอน ⊕⊕⊕⊕⊕ ⊖⊖⊖⊖⊖ เช่น เมื่อนำแก้วกับกระดาษมาขัดถูกัน แก้วมีแนวโน้มจะสูญเสียอิเล็กตรอน ไปยังกระดาษ ทำให้แก้วมีประจุเป็นบวก และกระดาษมีประจุเป็นลบ แก้วกับ กระดาษจึงมีแรงดึงดูดเข้าหากัน เมื่อนำกระดาษกับไม้มาขัดถูกัน กระดาษมีแนวโน้มจะสูญเสียอิเล็กตรอน ไปยังไม้ ทำให้กระดาษมีประจุเป็นบวก และไม้มีประจุเป็นลบ กระดาษกับไม้จึงมี แรงดึงดูดเข้าหากัน การชาร์จประจุโดยการเหนี่ยวนำ + - - + + - + - - - - + + - - + + - + + - - - - - + \ - + + + - - + - - + + + - - + + อิเล็กโตรสโคป (Electroscope) อิเล็กโตรสโคปแบบพิธบอล (Pith Ball Electroscope) เชือกฉนวนไฟฟ้า - + + - - - - ลูกพิธทรงกลมขนาดเล็ก + + - อิเล็กโตรสโคปแบบแผ่นทองคำ (Gold-Leaf Electroscope) - - จานโลหะ + + + + + + แผ่นทองคำขนาดเล็ก - - - - - - ข้อสังเกต วัตถุที่มีสภาพเป็นกลางทางไฟฟ้า คือ วัตถุที่มีประจุบวกและประจุลบเท่ากัน เราสามารถทำให้วัตถุที่เป็นกลางทางไฟฟ้าเป็นวัตถุมีประจุไฟฟ้าได้ โดย การถ่ายโอนประจุลบเข้าหรือออกจากวัตถุนั้น เมื่อต่อสายดิน (Ground ; \ ) กับวัตถุที่มีประจุไฟฟ้า อิเล็กตรอนจะ เคลื่อนที่จนกว่าวัตถุนั้นจะเป็นกลางทางไฟฟ้า

กฎคูลอมบ์ (Coulomb’s Law) r r̂ q₁ q₂ ₁₂ kq₁q₂ r̂ F⃑₁₂ = ₁₂ r² F⃑₁₂ คือ แรงไฟฟ้าที่จุดประจุ q₁ กระทำกับจุดประจุ q₂ 1 k = ≈ 8.99×10⁹ N·m²/C² 4πε₀ ε₀ คือ ค่าสภาพยินยอมได้ในสุญญากาศ (Permittivity of Free Space ≈ 8.8542×10⁻¹² C²/N·m²) q₁ และ q₂ คือ ประจุไฟฟ้าของจุดประจุ r คือ ระยะห่างระหว่างจุดประจุ q₁ กับ q₂ r̂ ₁₂ คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้จาก q₁ ไปหา q₂ ข้อสังเกต ประจุไฟฟ้าที่ใช้คำนวณในกฎของคูลอมบ์ต้องเป็นจุดประจุเท่านั้น

สนามไฟฟ้า (The Electric Field) สนามไฟฟ้า (The Electric Field ; E⃑ 〚N/C〛) คือ แรงไฟฟ้าที่กระทำกับจุดประจุ ทดสอบ (F⃑₀) ต่อขนาดของประจุทดสอบนั้น (q₀) F⃑₀ E⃑ = q₀ การหาแรงไฟฟ้าที่กระทำกับประจุ q ซึ่งอยู่ในสนามไฟฟ้า E⃑ F⃑ = qE⃑ สนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ q r ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้า r̂ (ตำแหน่งที่นำจุดประจุ q₀ มาทดสอบ) q F⃑₀ จาก E⃑ = q₀ kqq₀ r̂ E⃑ = q₀r² kq r̂ E⃑ = r² r คือ ระยะห่างระหว่างจุดประจุ q กับตำแหน่งของสนามไฟฟ้า r̂ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วยที่ชี้จากจุดประจุ q ไปยังตำแหน่งของสนามไฟฟ้า เส้นสนามไฟฟ้า (Electric Field Lines) 1. เส้นสนามไฟฟ้ามีทิศพุ่งออกจากประจุบวก และพุ่งเข้าหาประจุลบ 2. เส้นของสนามไฟฟ้าจะต้องไม่ตัดกัน 3. ผลรวมของเส้นสนามไฟฟ้าที่ตั้งฉากกับพื้นที่หน้าตัดจะแปรผันตามกับขนาดของ ประจุไฟฟ้า (∫E⃑·dA⃑ ∝ Q) - + สมบัติของตัวนำในสมดุลไฟฟ้าสถิต 1. สนามไฟฟ้าภายในตัวนำไฟฟ้ามีขนาดเป็นศูนย์ 2. ประจุกระจายอยู่ที่ผิวของตัวนำ σ 3. สนามไฟฟ้าภายนอกตัวนำมีทิศตั้งฉากกับผิวของตัวนำ และมีขนาดเท่ากับ ε₀ 4. ตัวนำซึ่งมีความโค้งไม่สม่ำเสมอ ความหนาแน่นของประจุจะมีขนาดมากในบริเวณ ที่รัศมีความโค้งน้อย + + σ + + |E⃑| = ε₀ + + + + + + + + สนามไฟฟ้าเนื่องจากฉนวนทรงกลมรัศมี R ประจุ Q กระจายสม่ำเสมอ |E⃑| kQ R² kQ R³ |E⃑ | = out | = kQr r² in |E⃑ r บริเวณในทรงกลม บริเวณนอกทรงกลม R สนามไฟฟ้าเนื่องจากตัวนำทรงกลมรัศมี R ประจุ Q |E⃑| kQ R² kQ |E⃑ | = out r² |E⃑ | = 0 in r บริเวณในทรงกลม บริเวณนอกทรงกลม R สนามไฟฟ้าเนื่องจากแผ่นประจุใหญ่มากกระจายสม่ำเสมอ ความหนาแน่น ของประจุเชิงพื้นที่ +σ และ -σ กรณี +σ กรณี -σ +σ -σ σ σ |E⃑| = |E⃑| = 2ε₀ 2ε₀ สนามไฟฟ้าเนื่องจากแผ่นคู่ขนานใหญ่มากๆ ประจุกระจายสม่ำเสมอ ความ หนาแน่นของประจุเชิงพื้นที่ +σ และ -σ +σ -σ |E⃑ | = 0 |E⃑ | = 0 out out σ |E⃑ | = in ε₀ ข้อสังเกต เมื่อประจุไฟฟ้าอยู่ในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าจะมีแรงกระทำต่อประจุไฟฟ้า นั้นในทิศทางเดียวกับสนามไฟฟ้าหรือทิศทางตรงข้ามกับสนามไฟฟ้าก็ได้ขึ้นอยู่กับชนิด ของประจุไฟฟ้า เส้นสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งหนึ่งแสดงเฉพาะทิศทางของสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งนั้น ส่วนขนาดของสนามไฟฟ้าพิจารณาจากความหนาแน่นของเส้นสนามไฟฟ้า ในบริเวณที่พิจารณา

การหาสนามไฟฟ้าของประจุที่กระจายตัวต่อเนื่อง แนวคิดของการหาสนามไฟฟ้าของประจุที่กระจายตัวต่อเนื่อง คือ การแบ่งประจุออก เป็นจุดประจุเล็กๆ แล้วใช้สมการสนามไฟฟ้าของจุดประจุในหัวข้อก่อนหน้านี้มา หาสนามไฟฟ้าของแต่ละจุดประจุ แล้วทำการรวมเวกเตอร์สนามไฟฟ้าของทุกๆ จุด ประจุ ซึ่งสามารถทำได้ตามขั้นตอนดังนี้ r dE⃑ P r̂ dq 1) แบ่งพิจารณาจุดประจุเล็ก dq และหาสนามไฟฟ้าเล็กๆ เนื่องจากจุดประจุดังกล่าว kdq dq r̂ r̂ โดยใช้สมการ dE⃑ = หรือ dE⃑ = r² 4πε₀r² 2) ลองเปลี่ยนตำแหน่งจุดประจุ dq ในวัตถุ เพื่อพิจารณาว่าอะไรเป็นค่าคงที่ และ อะไรเป็นตัวแปร 3) จัดรูปตัวแปรให้พร้อมสำหรับการอินทิเกรต ในขั้นตอนนี้อาจจะต้องใช้ความหนาแน่นเข้ามาช่วยในการอินทิเกรต ดังนี้ ประจุ dq ในกรณีวัตถุ 1 มิติ ความหนาแน่นเชิงเส้น คือ λ = = ความยาว dℓ ประจุ dq ในกรณีวัตถุ 2 มิติ ความหนาแน่นเชิงพื้นที่ คือ σ = = dA พื้นที่ ประจุ dq ในกรณีวัตถุ 3 มิติ ความหนาแน่นเชิงปริมาตร คือ ρ = = dV ปริมาตร 4) ทำการอินทิเกรตเพื่อหาสนามไฟฟ้าลัพธ์ E⃑ = ∫dE⃑ โดยใส่ขอบเขตการ อินทิเกรตให้ครบทุกๆ จุดประจุ 5) จัดสมการให้อยู่ในรูปของตัวแปรที่โจทย์กำหนดมาเท่านั้น ในขั้นตอนนี้อาจต้องแปลงความหนาแน่นกลับมาอยู่ในรูปของประจุ ถ้าวัตถุมีประจุ กระจายตัวสม่ำเสมอ หรือความหนาแน่นคงที่ จะได้ ประจุทั้งหมด Q ในกรณีวัตถุ 1 มิติ λ = = ℓ ความยาวทั้งหมด ประจุทั้งหมด Q ในกรณีวัตถุ 2 มิติ σ = = A พื้นที่ทั้งหมด ประจุทั้งหมด Q ในกรณีวัตถุ 3 มิติ ρ = = V ปริมาตรทั้งหมด 6) ตรวจคำตอบที่ได้ โดยมีแนวคิดว่าที่ตำแหน่งไกลมากๆ เราจะสามารถมองวัตถุ เป็นจุดได้ ดังนั้นที่ตำแหน่งไกลจากวัตถุมากๆ สนามไฟฟ้าจะต้องลดรูปสมการมา kQ r̂ เป็นสมการสนามไฟฟ้าของจุดประจุ E⃑ = หรือ สนามไฟฟ้าจะมีค่าน้อยมากๆ r² จนเข้าใกล้ศูนย์

ฟลักซ์ไฟฟ้า (Electric Flux) เวกเตอร์พื้นที่ (Vector Area ; A⃑ 〚m²〛) คือ เวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับพื้นที่และมี ทิศทางตั้งฉากกับระนาบของพื้นที่นั้น A⃑ = A n̂ A n̂ = Normal Vector ฟลักซ์ไฟฟ้า (Electric Flux ; φ 〚N·m²/C〛) คือ ขนาดสนามไฟฟ้าที่ไหลผ่านตั้ง E ฉากกับพื้นที่หน้าตัด ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่สนามไฟฟ้าคงที่บนพื้นที่หน้าตัด φ = E⃑·A⃑ E E⃑ คือ สนามไฟฟ้า A⃑ คือ เวกเตอร์ของพื้นที่หน้าตัด ในกรณีที่สนามไฟฟ้าไม่คงที่บนพื้นที่หน้าตัด φ = ∫E⃑·dA⃑ E dA⃑ คือ เวกเตอร์ของพื้นที่หน้าตัดในส่วนเล็กๆ

ทบทวนผลคูณเชิงสเกลาร์ î ĵ k̂ A⃑ = A ² + A ² + A ² x + A y + A z → |A⃑|² = A x y z î ĵ k̂ θ B⃑ = B ² + B ² + B ² x + B y + B z → |B⃑|² = B x y z จากรูปด้านบนเราสามารถหา A⃑⋅B⃑ ได้จาก A⃑⋅B⃑ = |A⃑||B⃑|cosθ = A B + A B + A B x x y y z z ⋅ (Dot) คือ สัญลักษณ์ของการคูณเวกเตอร์แบบผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ และนิยมเรียก ผลคูณเชิงสเกลาร์ว่า “Dot Product” สมบัติบางข้อของการ dot เวกเตอร์ สมบัติการสลับที่ A⃑⋅B⃑ = B⃑⋅A⃑ สมบัติการแจกแจง C⃑⋅(A⃑ + B⃑) = C⃑⋅A⃑ + C⃑⋅B⃑ เวกเตอร์ dot ตัวเอง A⃑⋅A⃑ = A A + A A + A A x x y y z z A⃑⋅A⃑ = A ² + A ² + A ² x y z A⃑⋅A⃑ = |A⃑|² การ dot ระหว่างเวกเตอร์หนึ่งหน่วย î î ĵ ĵ k̂ k̂ การ dot กับตัวเอง ⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 î ĵ ĵ k̂ k̂ î การ dot กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยอื่น ⋅ = ⋅ = ⋅ = 0

กฎของเกาส์ (Gauss’s Law) q enc φ = ∮E⃑·dA⃑ = E,enc ε₀ φ คือ ฟลักซ์ไฟฟ้าบนผิวปิด E,enc E⃑ คือ สนามไฟฟ้าบนผิวปิด dA⃑ คือ ส่วนเล็กๆ ของผิวปิด q คือ ประจุไฟฟ้าสุทธิในผิวปิด enc

สมบัติของตัวนำในสมดุลไฟฟ้าสถิต 1. สนามไฟฟ้าภายในตัวนำไฟฟ้ามีขนาดเป็นศูนย์ 2. ประจุกระจายอยู่ที่ผิวของตัวนำ σ 3. สนามไฟฟ้าภายนอกตัวนำมีทิศตั้งฉากกับผิวของตัวนำ และมีขนาดเท่ากับ ε₀ 4. ตัวนำซึ่งมีความโค้งไม่สม่ำเสมอ ความหนาแน่นของประจุจะมีขนาดมากในบริเวณ ที่รัศมีความโค้งน้อย + + σ + + |E⃑| = ε₀ + + + + + + + +

การใช้กฎของเกาส์ในการหาสนามไฟฟ้า q enc 1. เริ่มพิจารณาจากสมการ ∮E⃑·dA⃑ = ε₀ 2. สร้างผิวเกาส์ให้สัมผัสกับตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้า โดยสร้างผิวเกาส์รูป ทรงเดียวกับวัตถุ และใช้จุดศูนย์กลางร่วมกับวัตถุ เพื่อให้ E⃑ และ A⃑ มีทิศเดียวกัน q enc จะได้ ∮EdA = ε₀ 3. จากข้อ 2. ถ้าผิวเกาส์กับผิวของวัตถุมีระยะห่างสม่ำเสมอทั่วทั้งผิวเกาส์ จะทำให้ สนามไฟฟ้าคงที่บนผิวเกาส์นั้น q enc จะได้ E∮dA = ε₀ q enc EA = G ε₀ q enc ∴ E = ε₀A G q enc 4. พิจารณาหา q เพื่อแทนค่าในสมการ E = enc ε₀A G ในกรณีของฉนวนไฟฟ้าอาจต้องใช้ความหนาแน่นมาช่วยหา q และในกรณีของ enc ตัวนำไฟฟ้าจะต้องกระจายประจุเหนี่ยวนำตามสมบัติของตัวนำเพื่อหา q enc รูปทรงที่เหมาะสมที่ทำให้สนามไฟฟ้าคงที่บนผิวเกาส์ คือ รูปทรงที่ไม่มีเหลี่ยมมุม เนื่องจากบริเวณเหลี่ยมมุมจะมีระยะห่างระหว่างผิววัตถุกับผิวเกาส์ต่างจากบริเวณที่ไม่ เป็นเหลี่ยมมุม ทำให้สนามไฟฟ้าบนผิวเกาส์ไม่สม่ำเสมอ ดังนั้นรูปทรงที่สะดวกใน การใช้กฎของเกาส์ในการหาสนามไฟฟ้ามี ดังนี้ 1. ทรงกลม จะได้ A = ผิวทรงกลม G A = 4πr² G r คือ รัศมีของผิวเกาส์ 2. ทรงกระบอกยาวมากๆ เมื่อทรงกระบอกประมาณได้ว่ามีความยาวมากๆ เราจะ ละเลยการพิจารณาด้านปิดที่ปลายทรงกระบอกทั้งสองด้านของผิวเกาส์ เหลือ พิจารณาเพียงแค่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก ทำให้ไม่มีปัญหาเรื่องเหลี่ยมมุมของ ผิวเกาส์ จะได้ A = ผิวข้างทรงกระบอก G A = 2πrL G r คือ รัศมีของผิวเกาส์ L คือ ความยาวของทรงกระบอก 3. แผ่นประจุใหญ่มากๆ เมื่อแผ่นประจุใหญ่มากๆ เราจะละเลยการพิจารณาด้าน ขอบทั้งหมดของผิวเกาส์ เหลือพิจารณาเพียงแค่ผิวด้านหน้าและผิวด้านหลังของผิว เกาส์ ซึ่งผิวทั้งสองต่างมีขนาดประมาณผิวของวัตถุ ทำให้ไม่มีปัญหาเรื่องเหลี่ยมมุม ของผิวเกาส์ จะได้ A = พื้นที่แผ่นประจุด้านหน้า + พื้นที่แผ่นประจุด้านหลัง G A = 2A G A คือ พื้นที่ของแผ่นประจุ

งานเนื่องจากแรงไฟฟ้า, พลังงานศักย์ไฟฟ้า และศักย์ไฟฟ้า W = ∫qE⃑·dr⃑ W คือ งานเนื่องจากแรงไฟฟ้า q คือ ประจุไฟฟ้า E⃑ คือ สนามไฟฟ้า dr⃑ คือ การกระจัดของประจุ q ในช่วงเล็กๆ ในกรณีสนามไฟฟ้าคงที่ จะได้ W = qE⃑·Δr⃑ Δr⃑ คือ การกระจัดของประจุ q การเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ไฟฟ้า ΔU = -W = -∫qE⃑·dr⃑ ΔU คือ การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ไฟฟ้า การเปลี่ยนแปลงศักย์ไฟฟ้า 2 ΔU₁₂ V₂ - V₁ = ΔV₁₂ = = - ∫ E⃑·dr⃑ q 1 ΔV₁₂ คือ ความต่างศักย์ไฟฟ้าระหว่างจุด 2 กับจุด 1 V₂ คือ ศักย์ไฟฟ้า ณ จุดที่ 2 V₁ คือ ศักย์ไฟฟ้า ณ จุดที่ 1 ศักย์ไฟฟ้า ณ ตำแหน่ง r ใดๆ r V = - ∫ E⃑·dr⃑ หรือ E⃑ = -∇⃑V ; ∇ คือ Del Oprator ∞ V คือ ศักย์ไฟฟ้า ณ ตำแหน่ง r ใดๆ

ศักย์ไฟฟ้าของจุดประจุ kq V = r V คือ ศักย์ไฟฟ้า q คือ ประจุไฟฟ้า r คือ ระยะห่างจากจุดประจุ q ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากฉนวนทรงกลมรัศมี R ประจุ Q กระจายสม่ำเสมอ V kQ r² 3kQ V = (3 - ) in R² 2R 2R kQ kQ R V = out r r บริเวณในทรงกลม บริเวณนอกทรงกลม R ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากตัวนำทรงกลมรัศมี R ประจุ Q V kQ V = in kQ R R kQ V = out r r บริเวณในทรงกลม บริเวณนอกทรงกลม R ศักย์ไฟฟ้าระหว่างแผ่นคู่ขนานใหญ่มากๆ ประจุกระจายสม่ำเสมอ ความ หนาแน่นของประจุเชิงพื้นที่ +σ และ -σ d +σ -σ E⃑ σd |ΔV| = |E⃑|d = ε₀ พลังงานศักย์ไฟฟ้าของระบบประจุ N ตัว kq₁q₂ kq₂q₃ kq₁q₃ 1 U = + + + … หรือ U = Σq V(r ) i i r₁₂ r₁₃ r₂₃ 2 ข้อสังเกต ระยะห่าง d คือ ระยะห่างระหว่างตำแหน่ง A กับตำแหน่ง B ที่วัดในแนว ขนานกับสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ สนามไฟฟ้ามีทิศทางจากตำแหน่งศักย์ไฟฟ้าสูงไปยังตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้า ต่ำ หรือชี้ไปทางตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าลดลง ถ้าใช้แรงภายนอกเคลื่อนย้ายประจุไฟฟ้าไปยังตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าสูง พลังงานศักย์ไฟฟ้าจะมีค่าเพิ่มขึ้น ตำแหน่งที่อยู่ใกล้ประจุต้นกำเนิดจะมีศักย์ไฟฟ้ามากกว่าหรือน้อยกว่า ตำแหน่งที่อยู่ไกลกว่าก็ได้ ขึ้นกับชนิดของประจุต้นกำเนิดนั้น ประจุไฟฟ้าจะถูกแรงไฟฟ้าทำให้เคลื่อนที่ในทิศทางจากศักย์ไฟฟ้าสูงกว่า ไปยังศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่า หรือจากศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่าไปยังศักย์ไฟฟ้าสูงกว่าก็ได้ขึ้นกับ ชนิดของประจุต้นกำเนิด

การหาศักย์ไฟฟ้าของประจุที่กระจายตัวต่อเนื่อง แนวคิดของการหาศักย์ไฟฟ้าของประจุที่กระจายตัวต่อเนื่อง คือ การแบ่งประจุออกเป็น จุดประจุเล็กๆ แล้วใช้สมการศักย์ไฟฟ้าของจุดประจุในหัวข้อก่อนหน้านี้มาหาศักย์ ไฟฟ้าของแต่ละจุดประจุ แล้วทำการรวมศักย์ไฟฟ้าของทุกๆ จุดประจุ ซึ่งสามารถ ทำได้ตามขั้นตอนดังนี้ dV r P dq 1) แบ่งพิจารณาจุดประจุเล็ก dq และหาสนามไฟฟ้าเล็กๆ เนื่องจากจุดประจุดังกล่าว kdq dq โดยใช้สมการ dV = หรือ dV = r 4πε₀r 2) ลองเปลี่ยนตำแหน่งจุดประจุ dq ในวัตถุ เพื่อพิจารณาว่าอะไรเป็นค่าคงที่ และ อะไรเป็น ตัวแปร 3) จัดรูปตัวแปรให้พร้อมสำหรับการอินทิเกรต ในขั้นตอนนี้อาจจะต้องใช้ความหนาแน่นเข้ามาช่วยในการอินทิเกรต ดังนี้ ประจุ dq ในกรณีวัตถุ 1 มิติ ความหนาแน่นเชิงเส้น คือ λ = = ความยาว dℓ ประจุ dq ในกรณีวัตถุ 2 มิติ ความหนาแน่นเชิงพื้นที่ คือ σ = = dA พื้นที่ ประจุ dq ในกรณีวัตถุ 3 มิติ ความหนาแน่นเชิงปริมาตร คือ ρ = = dV ปริมาตร 4) ทำการอินทิเกรตเพื่อหาสนามไฟฟ้าลัพธ์ V = ∫dV โดยใส่ขอบเขตการ อินทิเกรตให้ครบทุกๆ จุดประจุ 5) จัดสมการให้อยู่ในรูปของตัวแปรที่โจทย์กำหนดมาเท่านั้น ในขั้นตอนนี้อาจต้องแปลงความหนาแน่นกลับมาอยู่ในรูปของประจุ ถ้าวัตถุมีประจุ กระจายตัวสม่ำเสมอ หรือความหนาแน่นคงที่ จะได้ ประจุทั้งหมด Q ในกรณีวัตถุ 1 มิติ λ = = ℓ ความยาวทั้งหมด ประจุทั้งหมด Q ในกรณีวัตถุ 2 มิติ σ = = A พื้นที่ทั้งหมด ประจุทั้งหมด Q ในกรณีวัตถุ 3 มิติ ρ = = V ปริมาตรทั้งหมด 6) ตรวจคำตอบที่ได้ โดยมีแนวคิดว่าที่ตำแหน่งไกลมากๆ เราจะสามารถมองวัตถุ เป็นจุดได้ ดังนั้นที่ตำแหน่งไกลจากวัตถุมากๆ ศักย์ไฟฟ้าจะต้องลดรูปสมการมาเป็น kQ สมการศักย์ไฟฟ้าของจุดประจุ V = หรือ ศักย์ไฟฟ้าจะมีค่าน้อยมากๆ r จนเข้าใกล้ศูนย์

การหาศักย์ไฟฟ้าจากสนามไฟฟ้า r V = - ∫ E⃑·dr⃑ ∞ V คือ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่ง r ใดๆ E⃑ คือ สนามไฟฟ้า dr⃑ คือ การกระจัดในช่วงเล็กๆ

การหาสนามไฟฟ้าจากศักย์ไฟฟ้า E⃑ = -∇⃑V E⃑ คือ สนามไฟฟ้า V คือ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่ง r ใดๆ ∇ คือ Del Oprator

ขั้วคู่ไฟฟ้าในสนามไฟฟ้า (Electric Dipole in an Electric Field) พิจารณาทอร์กของ Dipole ภายใต้สนามไฟฟ้า ดังรูปด้านล่าง +q + F⃑ = qE⃑ p⃑ θ E⃑ a -q - F⃑ = -qE⃑ จะได้ |τ⃑| = 2aq|E⃑|sinθ เมื่อ p⃑ ≡ 2aq ทิศชี้จากประจุ -q ไปยังประจุ +q จะได้ |τ⃑| = |p⃑||E⃑|sinθ ∴ τ⃑ = p⃑×E⃑ พิจารณาพลังงานศักย์ของ Dipole ภายใต้สนามไฟฟ้า θ จาก ΔU = ∫ τ⃑·dθ θ₀ θ U - 0 = ∫ |p⃑||E⃑|sinθdθ π/2 U = -|p⃑||E⃑|cosθ ∴ U = -p⃑·E⃑

ความจุไฟฟ้า (Capacitance) ความจุไฟฟ้า (Capacitance ; C 〚F〛) คือ อัตราส่วนของขนาดประจุบนแต่ละ ตัวนำต่อขนาดความต่างศักย์ไฟฟ้าระหว่างคู่ตัวนำนั้น |Q| C = |ΔV| |Q| คือ ขนาดประจุบนแต่ละตัวนำ |ΔV| คือ ขนาดความต่างศักย์ไฟฟ้าระหว่างคู่ตัวนำ ในแผนภาพวงจรไฟฟ้าจะใช้สัญลักษณ์แทนตัวเก็บประจุ คือ ˜ หรือ ™ ข้อสังเกต ตัวเก็บประจุอาจมีหรือไม่มีประจุสะสมอยู่ข้างในก็ได้ การที่ตัวเก็บประจุจะมี ประจุสะสมต้องได้รับการประจุ (Charging) ก่อน ประจุที่สะสมบนตัวเก็บประจุมีค่าเท่ากับขนาดประจุที่สะสมบนแผ่นตัวนำ แต่ละแผ่น โดยไม่พิจารณาชนิดของประจุ ดังนั้นประจุที่สะสมบนตัวเก็บประจุจะมีค่า เป็นศูนย์เฉพาะตอนที่แผ่นตัวนำแต่ละแผ่นไม่มีประจุเท่านั้น ความจุของตัวเก็บประจุอาจไม่ใช่ปริมาณประจุมากที่สุดที่ตัวเก็บประจุ สามารถเก็บสะสมไว้ได้ การนำตัวเก็บประจุไปใช้งานต้องพิจารณาความต่างศักย์ที่นำตัวเก็บประจุไป ต่อเข้ากับวงจร ถ้าความต่างศักย์มากกว่าค่าที่ระบุไว้บนตัวเก็บประจุจะทำให้ตัวเก็บ ประจุเสียหายและอาจเกิดอันตรายได้ ตัวเก็บประจุบางชนิดมีการระบุขั้วบวกและลบสำหรับต่อเข้าในวงจร ถ้าต่อตัว เก็บประจุไม่ถูกกับขั้วที่ระบุไว้บนตัวเก็บประจุจะทำให้ตัวเก็บประจุเสียหายได้ ตัวเก็บประจุไม่ใช่แบตเตอรี่ ตัวเก็บประจุสะสมพลังงานไฟฟ้าจาก ประจุไฟฟ้า สามารถให้พลังงานไฟฟ้าได้ในช่วงเวลาสั้นๆ ในขณะที่แบตเตอรี่สะสม พลังงานเคมีและเปลี่ยนพลังงานเคมีเป็นพลังงานไฟฟ้า สามารถให้พลังงานไฟฟ้าได้ ต่อเนื่องเป็นช่วงเวลานาน สายล่อฟ้าเป็นอุปกรณ์ที่ทำให้ประจุไฟฟ้าจากก้อนเมฆถ่ายโอนผ่านสายล่อ ฟ้า ช่วยให้ลดปริมาณประจุไฟฟ้าในบรรยากาศรอบๆ ทำให้ไม่เกิดฟ้าผ่าตึกหรือสิ่ง ก่อสร้างที่มีสายล่อฟ้าติดตั้งอยู่

พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุไฟฟ้า Q² 1 1 U = = CΔV² = QΔV 2C 2 2 U คือ พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุไฟฟ้า Q คือ ขนาดของประจุที่สะสมในตัวเก็บประจุไฟฟ้า C คือ ค่าความจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุไฟฟ้า ΔV คือ ขนาดความต่างศักย์ไฟฟ้าที่คร่อมตัวเก็บประจุไฟฟ้า

การรวมตัวเก็บประจุแบบขนาน (Parallel Combination) C = ΣC i C คือ ความจุไฟฟ้าหนึ่งตัวซึ่งสมมูลกับระบบความจุไฟฟ้าซึ่งต่อขนานกัน C คือ ความจุไฟฟ้าแต่ละตัวในระบบซึ่งต่อขนานกัน i

การรวมตัวเก็บประจุแบบอนุกรม (Series Combination) 1 1 = Σ C C i C คือ ความจุไฟฟ้าหนึ่งตัวซึ่งสมมูลกับระบบความจุไฟฟ้าซึ่งต่ออนุกรมกัน C คือ ความจุไฟฟ้าแต่ละตัวในระบบซึ่งต่ออนุกรมกัน i

ข้อสังเกต การนำตัวเก็บประจุมาต่อกันแบบอนุกรมหรือแบบขนาน ประจุไฟฟ้าจะไม่ เคลื่อนที่ผ่านตัวเก็บประจุแต่ละตัว แต่จะถูกเหนี่ยวนำให้มีการสะสมประจุบนตัวเก็บ ประจุ การนำตัวเก็บประจุมาต่อกันแบบขนานจะทำให้ได้ความจุสมมูลเพิ่มขึ้น และ การนำตัวเก็บประจุมาต่อกันแบบอนุกรมจะทำให้ได้ความจุสมมูลลดลง

ค่าคงที่ไดอิเล็กทริก (Capacitors with Dielectrics) ในกรณีที่ภายในตัวเก็บประจุไม่ใช่สุญญากาศ แต่เป็นสารไดอิเล็กทริก จะส่งผลให้ ค่า ε₀ เปลี่ยนไปเป็นค่า ε ของสารไดอิเล็กทริกนั้น โดยที่ ε และ ε₀ สัมพันธ์กัน ดังนี้ ε = κε₀ κ คือ ค่าคงที่ไดอิเล็กทริก (Dielectric Constant) ในกรณีแผ่นประจุคู่ขนาน ที่มีสารไดอิเล็กทริกระหว่างแผ่นคู่ขนาน κε₀A ε₀A εA C = = = κC₀ ; C₀ = d d d