สรุป บทที่ 19

วัตถุดำ (Blackbody) วัตถุดำ คือ วัตถุที่ดูดกลืนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทุกความยาวคลื่นอย่างสมบูรณ์ และ เมื่อวัตถุดำมีความร้อนสูงกว่าสิ่งแวดล้อม วัตถุดำจะแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาทุก ความยาวคลื่น กฎของสเตฟาน (Stefan’s Law) ℘ = σAeT⁴ ℘ คือ กำลังในการแผ่รังสี σ คือ Stefan’s Constant ≈ 5.6696×10⁻⁸ W/m²·K⁴ A คือ พื้นที่ผิวของวัตถุ e คือ ความสามารถในการแผ่รังสี (Emissivity) และ สำหรับวัตถุดำ e = 1 T คือ อุณหภูมิที่พื้นผิววัตถุในหน่วย K กฎการกระจัดของวีน (Wien’s Displacement Law) I 4,000 K 3,000 K 2,000 K λ(μm) 0 1 2 3 λ T = 2.898×10⁻³ m·K max λ คือ ความยาวคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความเข้มมากสุดที่แผ่รังสีออกมาจากวัตถุดำ max T คือ อุณหภูมิที่พื้นผิววัตถุดำในหน่วย K ข้อสังเกต วัตถุดำไม่จำเป็นต้องมีสีดำ แต่เป็นวัตถุในอุดมคติที่ดูดกลืนและแผ่ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้อย่างสมบูรณ์ วัตถุที่มีอุณหภูมิสูงจะแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในหลายๆ ช่วงความยาวคลื่น ด้วยความเข้มที่แตกต่างกัน โดยวัตถุยิ่งมีอุณหภูมิสูงขึ้น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แผ่ออก มาด้วยความเข้มมากที่สุดจะมีความยาวคลื่นสั้นลง เช่น วัตถุที่แผ่แสงสีแดงออกมาเข้ม สุดจะมีอุณหภูมิต่ำกว่าวัตถุที่แผ่แสงสีน้ำเงินออกมาเข้มสุด เป็นต้น

สมมติฐานของมัคส์ พลังค์ (Plank Hypothesized) 1) พลังงานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แผ่รังสีจาก Oscillator มีค่าได้เฉพาะ และไม่ต่อเนื่อง ตามสมการ E = nhf n E คือ พลังงานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แผ่รังสีจาก Oscillator n n คือ จำนวนเต็มบวก เรียกว่า “เลขควอนตัม (Quantum Number)” h คือ Planck’s Constant ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s f คือ ความถี่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แผ่รังสีจาก Oscillator 2) Oscillator จะปล่อยหรือดูดกลืนพลังงานเมื่อเปลี่ยนแปลงจากสถานะ ควอนตัมหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง ความแตกต่างของพลังงานทั้งหมดระหว่างสถานะ เริ่มต้นกับสถานะสุดท้ายนั้นถูกปล่อยหรือดูดกลืนเป็นรังสีควอนตัมเดียว นั่นคือ พลังงานดังกล่าวจะเท่ากับ E = hf จากสมมติฐานทั้ง 2 ข้อ Max Planck ได้ใช้แนวคิดเช่นเดียวกับ Rayleigh-Jeans เพื่อให้ได้มาซึ่งความหนาแน่นของพลังงาน โดยขึ้นกับพลังงาน เฉลี่ย (ขึ้นกับเทอม k T) แต่พลังงานเฉลี่ยไม่ได้ขึ้นกับทฤษฎีส่วนแบ่งพลังงาน B (Equipartition Theorem) พลังงานเฉลี่ยของคลื่นถูกมองว่าเป็นความต่างของ พลังงานเฉลี่ยระหว่างระดับพลังงานของ Oscillator ซึ่งความน่าจะเป็นของสถานะ E - k T พลังงานขึ้นกับ e นำมาสู่สมการ B 2πhc² I(λ,T) = hc/λk T B λ⁵( - 1) e

ปรากฏการณ์คอมพ์ตัน (The Compton Effect) พิจารณาโมเมนตัมของโฟตอน จาก E² = p²c² + E₀² E² = p²c² + (m₀c²)² เนื่องโฟตอนมีอัตราเร็วเท่ากับ c ดังนั้น m₀ จะต้องเป็นศูนย์ เพื่อที่มวลของโฟตอน จะได้ไม่มีขนาดเป็นอนันต์ จะได้ E² = p²c² + ((0)c²)² E ∴ p = c p คือ ขนาดโมเมนตัมของโฟตอน E คือ พลังงานของโฟตอน c คือ อัตราเร็วของแสงในสุญญกาศ hf p = ; E = hf c h p = ; c = fλ λ h คือ Planck’s Constant ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s λ คือ ความยาวคลื่นของโฟตอน พิจารณาโฟตอนความยาวคลื่น λ ความถี่ f เคลื่อนที่เข้าชนอิเล็กตรอนซึ่งอยู่นิ่ง หลังการชนโฟตอนได้กระเจิงเป็นมุม θ เทียบกับแนวที่โฟตอนเข้ามาชน โดย ความยาวคลื่นได้เปลี่ยนไปเป็น λ′ ความถี่เปลี่ยนไปเป็น f′ อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ทำ มุม φ เทียบกับแนวที่โฟตอนเข้ามาชน โดยมีความเร็วขนาด v ดังรูปด้านล่าง v e φ e λ, f θ λ′, f′ กำหนดให้ขนาดโมเมนตัมของโฟตอนก่อนชน คือ p ขนาดโมเมนตัมของโฟตอนหลังชน คือ p′ ขนาดโมเมนตัมของอิเล็กตรอนหลังชน คือ p e จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ Σp⃑ = Σp⃑ f i p⃑ + p⃑′ = p⃑ e p⃑ = p⃑ - p⃑′ e ∴ p ² = p² + p′² - 2pp′cosθ ⋯⋯ (1) e จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน (หลังการชนอิเล็กตรอนมีอัตราเร็วสูง) จะได้ ΣE = ΣE f i p′c + E = pc + E₀ E = (p - p′)c + E₀ E² = (p² + p′² - 2pp′)c² + 2(p - p′)cE₀ + E₀² E² - E₀² = (p² + p′² - 2pp′)c² + 2(p - p′)cE₀ p ²c² = (p² + p′² - 2pp′)c² + 2(p - p′)cE₀ e E₀ p ² = (p² + p′² - 2pp′) + 2(p - p′) e c m₀c² p ² = (p² + p′² - 2pp′) + 2(p - p′) e c p ² = p² + p′² - 2pp′ + 2(p - p′)m₀c ⋯⋯ (2) e (1) = (2) จะได้ p² + p′² - 2pp′cosθ = p² + p′² - 2pp′ + 2(p - p′)m₀c (p - p′)m₀c = pp′ - pp′cosθ pp′ p - p′ = (1 - cosθ) m₀c h h 1 h h - = ( )( )(1 - cosθ) m₀c λ λ′ λ λ′ h λ′ - λ = (1 - cosθ) m₀c h ∴ Δλ = (1 - cosθ) m₀c Δλ คือ ความยาวคลื่นของโฟตอนที่เปลี่ยนไปหลังการชน h คือ Planck’s Constant ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s m₀ คือ มวลนิ่งของอิเล็กตรอน (≈ 9.11×10⁻³¹ kg) c คือ อัตราเร็วของแสงในสุญญกาศ θ คือ มุมกระเจิงของโฟตอนเทียบกับแนวของโฟตอนที่เข้ามาชน h จาก λ′ - λ = (1 - cosθ) m₀c h c c - = (1 - cosθ) ; c = fλ m₀c f f′ 1 1 h - = (1 - cosθ) f m₀c² f′ f - f′ h = (1 - cosθ) m₀c² ff′ hff′ f - f′ = (1 - cosθ) m₀c² f คือ ความถี่ของโฟตอนก่อนชน f′ คือ ความถี่ของโฟตอนหลังชน hff′ จาก f - f′ = (1 - cosθ) m₀c² hfhf′ hf - hf′ = (1 - cosθ) m₀c² EE′ E - E′ = (1 - cosθ) E₀ E คือ พลังงานของโฟตอนก่อนชน E′ คือ พลังงานของโฟตอนหลังชน E₀ คือ พลังงานมวลนิ่งของอิเล็กตรอน

ความดันรังสีที่เกิดขึ้นกับโฟตอน I P = (f + 1)cos²θ c P คือ ความดันรังสีที่เกิดขึ้นกับโฟตอน f คือ สัมประสิทธิ์การสะท้อนของวัตถุที่โฟตอนเข้าชน (Coefficient of Reflection) θ คือ มุมตกกตระทบของโฟตอน (หรือ มุมสะท้อนของโฟตอน) I คือ ความเข้มของโฟตอน c คือ อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ เมื่อ θ = 0º หรือ โฟตอนตกกระทบตั้งฉากกับผิววัตถุ จะได้ (f + 1)I P = c

ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ (The de Broglie Wavelength) ในปี ค.ศ 1923 Louis de Broglie ได้เสนอสมมติฐานว่าเนื่องจาก โฟตอนมีลักษณะเป็นทั้งคลื่นและอนุภาค ดังนั้นสสารทุกอย่างในจักรวาลนี้น่าจะมี ลักษณะเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคเช่นกัน ซึ่งอธิบายความยาวคลื่นของสสารด้วยสมการ The de Broglie Wavelength ดังนี้ h h p = → λ = p λ h คือ Planck’s Constant ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s λ คือ ความยาวคลื่นของสสาร p คือ ขนาดโมเมนตัมของสสาร

แบบจำลองไฮโดรเจนอะตอมของนีลส์ บอห์ร (Bohr’s Model of the Hydrogen Atom) ในปี ค.ศ. 1913 Niels Bohr ได้เสนอแบบจำลองอะตอมแบบใหม่ (ในปัจจุบัน แบบจำลองอะตอมของนีลส์ บอห์ร ได้ถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัม) โดย ได้รวมแนวคิดทางควอนตัมของ Planck, แนวคิดโฟตอนของ Einstein, แบบจำลอง อะตอมของ Rutherford และกลศาสตร์แบบนิวตัน โดยมีสมมติฐาน 4 ข้อ ดังนี้ 1) อิเล็กตรอนเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบนิวเคลียสภายใต้แรงคูลอมบ์ จาก ΣF⃑ = ma⃑ r k(e)(e) mv² = r r² ke² v² = ⋯⋯ (1) mr 2) อิเล็กตรอนที่อยู่ในวงโคจรที่เสถียรจะไม่ปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมา (ถึงแม้ จะมีความเร่ง) ดังนั้นพลังงานรวมของอิเล็กตรอนจะคงที่ และใช้กลศาสตร์แบบดั้งเดิม (Classical Mechanics) อธิบายได้ (ไม่ได้ใช้กลศาสตร์เชิงสัมพัทธภาพ) จาก E = K + U k(e)(-e) 1 E = mv² + r 2 1 ke² ke² E = m( ) - ; (1) mr r 2 ke² E = - ⋯⋯ (2) 2r 3) อะตอมจะแผ่รังสีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาเมื่ออิเล็กตรอนเปลี่ยนสถานะจากระดับ พลังงานสูงกว่ามายังสถานะที่ระดับพลังงานต่ำกว่า (อะตอมดูดกลืนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ทำให้อิเล็กตรอนเปลี่ยนสถานะจากระดับพลังงานต่ำกว่ามายังสถานะที่ระดับพลังงานสูง กว่า) ตามสมการ E = ΔE γ e เมื่อพิจารณากรณีอะตอมแผ่รังสีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมา จะได้ -hf = E - E f i hc - = E - E f i λ 1 1 = (E - E ) ⋯⋯ (3) i f hc λ 4) โมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอนในวงโคจรที่เสถียรจะต้องเป็นจำนวนเท่าของ ℏ (ขนาดเส้นรอบวงโคจรจะเป็นจำนวนเท่าของความยาวคลื่นของอิเล็กตรอน) จาก 2πr = nλ h 2πr = n( ) p h pr = n → L = nℏ 2π mvr = nℏ n²ℏ² v² = ⋯⋯ (4) m²r² ke² n²ℏ² (1) = (4) จะได้ = mr m²r² n²ℏ² r = n mke² r = a₀n² ; n = 1, 2, 3, … ⋯⋯ (5) n ℏ² a₀ คือ Bohr Radius = ≈ 0.0529 nm mke² ke² mke² (5) แทนใน (2) จะได้ E = - ( ) n 2 n²ℏ² mk²e⁴ E = - ⋯⋯ (6) n 2ℏ²n² 13.606 E ≈ - eV ⋯⋯ (7) n n² 1 1 mk²e⁴ mk²e⁴ (6) แทนใน (3) จะได้ = ((- ) - (- )) hc 2ℏ²n ² 2ℏ²n ² λ i f 1 mk²e⁴ 1 1 = ( - ) 2ℏ²hc n ² n ² λ f i 1 2mπ²k²e⁴ 1 1 = ( - ) h³c n ² n ² λ f i 1 1 1 = R ( - ) H n ² n ² λ f i 2mπ²k²e⁴ R คือ Rydberg Constant = ≈ 1.0973732×10⁷ m⁻¹ H h³c พิจารณาที่ n ค่าต่างๆ f 1 1 1 n = 1 จะได้ Lyman Series = R ( - ) ; n = 2, 3, 4, … f H 1² n² λ 1 1 1 n = 2 จะได้ Balmer Series = R ( - ) ; n = 3, 4, 5, … f H 2² n² λ 1 1 1 n = 3 จะได้ Paschen Series = R ( - ) ; n = 4, 5, 6, … f H 3² n² λ 1 1 1 n = 4 จะได้ Brackett Series = R ( - ) ; n = 5, 6, 7, … f H 4² n² λ 1 1 1 n = 5 จะได้ Pfund Series = R ( - ) ; n = 6, 7, 8, … f H 5² n² λ ข้อสังเกต สเปกตรัมจากหลอดบรรจุแก๊สเป็นสเปกตรัมแบบเส้น แต่สเปกตรัมหลอดไฟ ฟ้าทั้วไปเป็นสเปกตรัมต่อเนื่อง ตามทฤษฎีอะตอมของโบร์ รัศมีวงโคจรของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียส สามารถมีค่าได้เฉพาะบางค่าเท่านั้น อิเล็กตรอนในอะตอมสามารถเปลี่ยนระดับพลังงานโดยการดูดกลืนหรือ ปล่อยพลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้เฉพาะบางค่าเท่านั้น ทฤษฎีอะตอมของโบร์ไม่สามารถอธิบายอะตอมที่มีหลายอิเล็กตรอน พลังงานรวมของอิเล็กตรอนในอะตอมมีค่าติดลบมาก แสดงว่าอิเล็กตรอนถูก อะตอมยึดไว้ด้วยพลังงานมาก

ฟังก์ชันคลื่น (Wave Function) Normalization Condition ∞ ∫|Ψ|²dx = 1 -∞ Ψ คือ ฟังก์ชันคลื่น (Wave Function) หรือ Probability Amplitude ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในช่วง a ≤ x ≤ b b ℙ = ∫|Ψ|²dx a ℙ คือ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในช่วง a ≤ x ≤ b ค่าคาดหวังของ f(x) (Expectation Value ; 〈f(x)〉) ∞ 〈f(x)〉 = ∫Ψ*f(x)Ψdx -∞ 〈f(x)〉 คือ ค่าคาดหวังของ f(x) ข้อสังเกต พฤติกรรมของอิเล็กตรอนในระดับอะตอมนั้นไม่สามารถระบุตำแหน่งได้อย่าง ชัดเจน และมีพฤติกรรมเป็นคลื่นได้ ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีควอนตัม อิเล็กตรอนนอกจากเป็นอนุภาค ยังแสดงสมบัติเป็นคลื่นได้ด้วย แต่ไม่ สามารถแสดงสมบัติความเป็นคลื่นและอนุภาคพร้อมกัน

หลักความไม่แน่นอน (The Uncertainty Principle) ℏ ΔxΔp ≥ x 2 Δx คือ ความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งตามแนวแกน x Δp คือ ความไม่แน่นอนในการวัดโมเมนตัมตามแนวแกน x x h ℏ = ; h คือ Planck’s Constant ≈ 6.626×10⁻³⁴ J·s 2π ℏ ΔEΔt ≥ 2 ΔE คือ ความไม่แน่นอนในการวัดพลังงาน Δt คือ ความไม่แน่นอนในการวัดเวลา

สมการชเรอดิงเงอร์ (The Schrödinger Equation) ในปี ค.ศ. 1926 Erwin Schrödinger ได้พัฒนาสมการเพื่อให้อธิบาย พฤติกรรมอนุภาคในเชิงควอนตัม ดังนี้ Time-Independent Schrödinger Equation Ĥ Ψ(r⃑) = EΨ(r⃑) Ψ คือ ฟังก์ชันคลื่นของอนุภาค (Wave Function) หรือ Probability Amplitude E คือ พลังงานรวมของอนุภาค Ĥ คือ Hamiltonian Operator (Energy Operator) โดยที่ Ĥ K̂ Û = + p̂² K̂ K̂ คือ Kinetic Energy Operator ( = ) 2m Û Û คือ Potential Energy Operator ( = U(r⃑)) p̂ p̂ คือ Momentum Operator ( = -iℏ∇⃑) p̂² Ĥ 1 ℏ² p̂ p̂ จะได้ = + U(r⃑) = ( · ) + U(r⃑) = - ∇² + U(r⃑) 2m 2m 2m ในกรณี 1 มิติ (Time-Independent Schrödinger Equation) จะได้ ℏ² ∂² (- + U(x))Ψ(x) = EΨ(x) 2m ∂x² Time-Dependent Schrödinger Equation Ĥ ∂ Ψ(r⃑,t) = iℏ Ψ(r⃑,t) ∂t

อนุภาคในกล่อง (A Particle in a Box) อนุภาคมวล m ถูกกักอยู่ในกล่องกว้าง L และมีจุดศูนย์กลางกล่องอยู่ที่ตำแหน่ง x₀ ฟังก์ชันพลังงานศักย์ U(x) L 0 ; x₀ - ≤ x ≤ x₀ +  L U(x) = { 2 2 ∞ ; Other x ฟังก์ชันคลื่น 2 L sin( nπ (x - x₀ +  L ) ; x₀ - ≤ x ≤ x₀ +  L Ψ(x) = L L 2 2 2 0 ; Other x 2L ความยาวคลื่น λ = n n nh ขนาดโมเมนตัม p = n 2L n²π²ℏ² n²h² พลังงาน E = K = = n n 2mL² 8mL² เมื่อ n คือ ระดับพลังงานของอนุภาค (n = 1, 2, 3, ...) ค่าคาดหวังของตำแหน่ง 〈x〉 = x₀ เพิ่มเติม สถานะพื้น (Ground State) คือ สถานะที่ n = 1 สถานะกระตุ้นที่ n (Excited State) คือ สถานะที่ n + 1

เลขควอนตัม (The Quantum Numbers) Principal Quantum Number ; n = 1, 2, 3, … โดย n จะสัมพันธ์กับพลังงาน ของอิเล็กตรอนในอะตอม เช่น ระดับพลังงานของอิเล็กตรอนในไฮโดรเจนอะตอม 13.606 คำนวณได้จาก E ≈ - eV เป็นต้น n n² Orbital Quantum Number ; ℓ = 0, 1, 2, …, n - 1 (ในแต่ละระดับ พลังงาน n จะมี ℓ ได้ทั้งหมด n ตัว) โดย ℓ จะสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมของ อิเล็กตรอนในอะตอม ตามสมการ L = ℓ(ℓ + 1) ℏ เพิ่มเติม : s Orbital คือ ℓ = 0, p Orbital คือ ℓ = 1, d Orbital คือ ℓ = 2, f Orbital คือ ℓ = 3, g Orbital คือ ℓ = 4, … Orbital Magnetic Quantum Number ; m = -ℓ, -ℓ + 1, …, ℓ - 1, ℓ ℓ โดย m จะสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมตามแนวแกน z ของอิเล็กตรอนในอะตอม ℓ ตามสมการ L = m ℏ z ℓ เพิ่มเติม : แนวแกน z มีทิศทางตามสนามแม่เหล็กจากภายนอกที่กระทำกับอะตอม z L = m ℏ L = ℏ ℓ(ℓ + 1) z ℓ θ B⃑ x, y L m z ℓ จากรูปด้านบน จะได้ cosθ = = L ℓ(ℓ + 1) 1 The Spin Magnetic Quantum Number ; m = + เรียกว่า “Spin Up” และ s 2 1 - เรียกว่า “Spin Down” โดย m จะสัมพันธ์กับ Spin Angular Momentum s 2 ตามแนวแกน z ของอิเล็กตรอนในอะตอม ตามสมการ S = m ℏ z s เพิ่มเติม : Spin ของอิเล็กตรอนนั้นไม่ใช่การหมุนในทางกลศาสตร์แบบดั้งเดิม (Classical Mechanics) แต่ผลการคำนวณทางควอนตัมที่ทำให้อิเล็กตรอนมี โมเมนตัมเชิงมุมราวกับอิเล็กตรอนกำลังหมุนในแบบกลศาสตร์แบบดั้งเดิม The Exclusion Principle ในปี ค.ศ. 1925 Wolfgang Pauli ได้เสนอกฎการกีดกัน (The Exclusion Principle) ดังนี้ “ไม่มีอิเล็กตรอนสองตัวที่สามารถอยู่ในสถานะควอนตัมเดียวกันได้ ดังนั้นจึงไม่มีอิเล็กตรอนสองตัวในอะตอมเดียวกันที่สามารถมีเลขควอนตัมชุดเดียวกัน ได้” เมื่อชุดเลขควอนตัม คือ n, ℓ, m และ m ℓ s