Problem 13.143 Challenge
หัวข้อ: ค่าคงที่ไดอิเล็กทริก (Capacitors with Dielectrics)
\(C = (\frac{κ_{1}}{2}+\frac{κ_{2}κ_{3}}{κ_{2} + κ_{3}})\frac{ε_{0}A}{d}\;\blacksquare ; κ_{new}=\frac{κ_{1}}{2}+\frac{κ_{2}κ_{3}}{κ_{2} + κ_{3}}\)
ดูวิธีทำ
พิจารณาแผนภาพของระบบตัวเก็บประจุไฟฟ้า ดังรูปด้านล่าง
\(C_{2} =\frac{κ_{2}ε_{0}A}{d}\)
\(C_{1} =\frac{κ_{1}ε_{0}A}{2d}\)
\(C_{3} =\frac{κ_{3}ε_{0}A}{d}\)
พิจารณาการต่ออนุกรมระหว่าง C₂ กับ C₃
จะได้ \(\frac{1}{C_{23}}=\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\)
\(C_{23} =\frac{C_{2}C_{3}}{C_{2} + C_{3}}\)
\(C_{23} =\frac{(\frac{κ_{2}ε_{0}A}{d})(\frac{κ_{3}ε_{0}A}{d})}{(\frac{κ_{2}ε_{0}A}{d}) + (\frac{κ_{3}ε_{0}A}{d})}\)
\(C_{23} = (\frac{κ_{2}κ_{3}}{κ_{2} + κ_{3}})\frac{ε_{0}A}{d}\)
พิจารณาการต่อขนานระหว่าง C₂₃ กับ C₁
จะได้ \(C = C_{1} + C_{23}\)
\(C =\frac{κ_{1}ε_{0}A}{2d}+ (\frac{κ_{2}κ_{3}}{κ_{2} + κ_{3}})\frac{ε_{0}A}{d}\)
\(C = (\frac{κ_{1}}{2}+\frac{κ_{2}κ_{3}}{κ_{2} + κ_{3}})\frac{ε_{0}A}{d}\;\blacksquare ; κ_{new}=\frac{κ_{1}}{2}+\frac{κ_{2}κ_{3}}{κ_{2} + κ_{3}}\)