Problem 15.4 Challenge

หัวข้อ: กฎของบิโอต์–ซาวาร์ต (The Biot – Savart Law)

จงหาสนามแม่เหล็กที่จุดกึ่งกลางของรูป N เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งมีระยะจากจุดกึ่งกลาง ถึงด้านแต่ละด้านเป็น a และมีกระแสไฟฟ้า I ไหลผ่านดังรูปด้านล่าง และจง μ₀I แสดงว่าเมื่อ N เข้าใกล้อนันต์ สนามแม่เหล็กจะอยู่ในรูป B⃑ = ซึ่งเป็น สนามแม่เหล็กที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี a?

คำตอบ
\(\vec{B} =\frac{\mu _{0}I}{2a}(\frac{\sin (\pi /N)}{\pi /N}) \;\blacksquare\)

ดูวิธีทำ

พิจารณาเส้วนลวดส่วนด้านล่าง

จะได้ y

\(\frac{_{\pi}}{_{N}}\)

\(_{\theta _{2}=}\frac{_{\pi}}{_{2}}_{+}\frac{_{\pi}}{_{N}}\)

\(\frac{^{\theta _{1}=}\frac{_{\pi}}{_{2}}^{-}\frac{_{\pi}}{_{N}}}{I}x\)

จาก \(Problem 10.1\)

k̂

จะได้ B⃑1 ด้าน=fracmu ₀I4pi a(cos theta ₁ - cos theta ₂)

k̂

B⃑1 ด้าน=fracmu ₀I4pi a(cos (fracpi2-fracpiN)-cos (fracpi2+fracpiN))

k̂

B⃑1 ด้าน=fracmu ₀I4pi a(sin (fracpiN)--sin (fracpiN))

k̂

B⃑1 ด้าน=fracmu ₀I2pi asin (fracpiN)

therefore B⃑ = NB⃑1 ด้าน

k̂

\(\vec{B} =\frac{N\mu _{0}I}{2\pi a}\sin (\frac{\pi}{N})\)

k̂

\(\vec{B} =\frac{\mu _{0}I}{2a}(\frac{\sin (\pi /N)}{\pi /N}) \;\blacksquare\)

พิจารณากรณีN→∞หรือ\(\frac{\pi}{N}\to 0\)

ให้\(x=\frac{\pi}{N}\to 0\)

k̂

จะได้ \(\vec{B} = \frac{\mu _{0}I}{2a}\lim \frac{sinx}{x}\)

\(_{x\to 0}\)

k̂

\(\vec{B} =\frac{\mu _{0}I}{2a}\)

โจทย์อื่นในหัวข้อ กฎของบิโอต์–ซาวาร์ต (The Biot – Savart Law)

15.1 15.2 15.3