Problem 18.50 Challenge

หัวข้อ: การเลี้ยวเบนผ่านสลิตคู่ (Intensity of Two-Slit Diffraction Patterns)

ยิงแสงความยาวคลื่น 501.5 nm ตั้งฉากช่องแคบคู่ซึ่งกว้างช่องละ 0.700 μm และ ระยะห่างระหว่างกึ่งกลางของช่องแคบทั้งสองเท่ากับ 2.80 μm โดยแสงได้ผ่าน ช่องแคบคู่ไปยังฉากครึ่งทรงกระบอกที่มีแกนทรงกระบอกอยู่กึ่งกลางะหว่างช่องแคบคู่ดัง กล่าวพอดี จงหา a) ตำแหน่งริ้วการแทรกสอดแบบเสริมบนฉากในรูปของมุมเทียบกับแนวกลาง? b) ตำแหน่งริ้วสว่างที่สามารถมองเห็นได้จริงบนฉาก? c) ค่า I/Imax ของริ้วสว่างทั้งหมดที่สามารถมองเห็นได้จริงบนฉาก?

คำตอบ
ที่ \(θ = \pm 63.6°\) จะได้ \(I/I_{\max}= 0.0324 \;\blacksquare\)

ดูวิธีทำ

a) จาก \(dsinθ = mλ\)

\(\theta = \sin ^{-1}(\frac{m\lambda}{d}) = \sin ^{-1}(\frac{m(501.5 nm)}{(2.80 \mu m)})\)

ที่ \(m = 0\) จะได้ \(θ = 0°\)

ที่ \(m = \pm 1\) จะได้ \(θ = \pm 10.3°\)

ที่ \(m = \pm 2\) จะได้ \(θ = \pm 21.0°\)

ที่ \(m = \pm 3\) จะได้ \(θ = \pm 32.5°\)

ที่ \(m = \pm 4\) จะได้ \(θ = \pm 45.8°\)

ที่ \(m = \pm 5\) จะได้ \(θ = \pm 63.6°\)

ที่ \(m = \pm 6\) จะได้ \(θ\) เกิน \(\pm 90°\) ซึ่งเกินฉากที่รับแสง

∴ ตำแหน่งริ้วการแทรกสอดแบบเสริมบนฉากในรูปของมุมเทียบกับแนวกลาง คือ

\(θ = 0°, \pm 10.3°, \pm 21.0°, \pm 32.5°, \pm 45.8°\) และ \(\pm 63.6° \;\blacksquare\)

b) พิจารณาตำแหน่งแถบมืดของการเลี้ยวเบน

จาก \(asinθ = mλ\)

\(\theta = \sin ^{-1}(\frac{m\lambda}{a}) = \sin ^{-1}(\frac{m(501.5 nm)}{(0.700 \mu m)})\)

ที่ \(m = \pm 1\) จะได้ \(θ = \pm 45.8°\)

ที่ \(m = \pm 2\) จะได้ \(θ\) เกิน \(\pm 90°\) ซึ่งเกินฉากที่รับแสง

เนื่องจากแถบมืดลำดับที่ \(1\) ของการเลี้ยวเบนตรงกับตำแหน่งแถบสว่างลำดับที่ \(4\) ของ

การแทรกสอด แถบสว่างลำดับที่ \(4\) ของการแทรกสอดจึงไม่สว่าง

∴ ตำแหน่งริ้วสว่างที่สามารถมองเห็นได้จริงบนฉาก คือ

\(θ = 0°, \pm 10.3°, \pm 21.0°, \pm 32.5°\) และ \(\pm 63.6° \;\blacksquare\)

c) จาก \(\frac{\Delta r}{\lambda}=\frac{\Delta φ}{2\pi}\) และ \(\frac{\Delta r}{\lambda}=\frac{\Delta \beta}{2\pi}\)

\(\frac{dsin\theta}{\lambda}=\frac{\Delta φ}{2\pi}\frac{asin\theta}{\lambda}=\frac{\Delta \beta}{2\pi}\)

\(\frac{\Delta φ}{2}=\frac{\pi dsin\theta}{\lambda}\frac{\Delta \beta}{2}=\frac{\pi asin\theta}{\lambda}\)

จาก \(I = I_{\max}(\frac{\sin (\Delta \beta /2)}{\Delta \beta /2})^{2}\cos ^{2}(\frac{\Delta φ}{2})\)

\(I/I_{\max}= (\frac{\sin (\frac{\pi asin\theta}{\lambda})}{\frac{\pi asin\theta}{\lambda}})^{2}\cos ^{2}(\frac{\pi dsin\theta}{\lambda})\)

\(I/I_{\max}= (\frac{\sin (\frac{\pi asin\theta}{\lambda}(\frac{180°}{\pi}))}{\frac{\pi asin\theta}{\lambda}})^{2}\cos ^{2}(\frac{180°}{\pi}(\frac{\pi dsin\theta}{\lambda}))\)

\(I/I_{\max}= (\frac{\sin (\frac{(180°)asin\theta}{\lambda})}{\frac{asin\theta}{\lambda}})^{2}\cos ^{2}(\frac{(180°)dsin\theta}{\lambda})\)

แทน \(λ = 501.5 nm, a = 0.700 μm\) และ \(d = 2.80 μm\)

ที่ \(θ = 0°\) จะได้ \(I/I_{\max}= 1.00 \;\blacksquare\)

ที่ \(θ = \pm 10.3°\) จะได้ \(I/I_{\max}= 0.811 \;\blacksquare\)

ที่ \(θ = \pm 21.0°\) จะได้ \(I/I_{\max}= 0.405 \;\blacksquare\)

ที่ \(θ = \pm 32.5°\) จะได้ \(I/I_{\max}= 0.0901 \;\blacksquare\)

ที่ \(θ = \pm 63.6°\) จะได้ \(I/I_{\max}= 0.0324 \;\blacksquare\)

โจทย์อื่นในหัวข้อ การเลี้ยวเบนผ่านสลิตคู่ (Intensity of Two-Slit Diffraction Patterns)

18.49