Problem 19.94 Challenge

จากสถานะ \(4d\) คือ \(n = 4\) และ \(\ell = 2\)

\(\therefore \ell = 2\) จะได้ \(L = \sqrt{\ell (\ell  + 1)}\hbar =\sqrt{2(2 + 1)}\hbar =6\hbar\)

และ \(m_{\ell}\) ที่เป็นไปได้ คือ \(-2, -1, 0, 1\) และ \(2\)

พิจารณาที่ \(m_{\ell}= -2\) จะได้ \(L_{z}= m_{\ell}\hbar = -2\hbar\)

จาก \(θ = cos^{-1}(\frac{L}{L_{z}}) = \cos ^{-1}(\frac{-2\hbar}{6\hbar}) = 145° \;\blacksquare\)

พิจารณาที่ \(m_{\ell}= -1\) จะได้ \(L_{z}= m_{\ell}\hbar = -\hbar\)

จาก \(θ = cos^{-1}(\frac{L_{z}}{L}) = \cos ^{-1}(\frac{-\hbar}{6\hbar}) = 114° \;\blacksquare\)

พิจารณาที่ \(m_{\ell}= 0\) จะได้ \(L_{z}= m_{\ell}\hbar = 0\)

จาก \(θ = cos^{-1}(\frac{L_{z}}{L}) = \cos ^{-1}(\frac{0}{6\hbar}) = 90.0° \;\blacksquare\)

พิจารณาที่ \(m_{\ell}= 1\) จะได้ \(L_{z}= m_{\ell}\hbar = \hbar\)

จาก \(θ = cos^{-1}(\frac{L_{z}}{L}) = \cos ^{-1}(\frac{\hbar}{6\hbar}) = 66.0° \;\blacksquare\)

พิจารณาที่ \(m_{\ell}= 2\) จะได้ \(L_{z}= m_{\ell}\hbar = 2\hbar\)

จาก \(θ = cos^{-1}(\frac{L_{z}}{L}) = \cos ^{-1}(\frac{2\hbar}{6\hbar}) = 35.3° \;\blacksquare\)