Problem 11.22 Challenge
หัวข้อ: สมการคลื่นเชิงเส้น (The Linear Wave Equation)
จงแสดงว่า y = ln(A(x - vt)) เป็นผลเฉลยของสมการคลื่นเชิงเส้นใน 1 มิติ เมื่อ A คือ ค่าคงที่ และ v คือ อัตราเร็วคลื่น?
คำตอบ
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}\;\blacksquare\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
จาก \(y = ln(A(x - vt))\)
พิจารณา \(\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{-vA}{A(x - vt)}\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}= -\frac{v^{2}}{(x - vt)^{2}}\)
\(\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}= -\frac{1}{(x - vt)^{2}}\cdots \cdots (1)\)
พิจารณา \(\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{A}{A(x - vt)}\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}= -\frac{1}{(x - vt)^{2}}\cdots \cdots (2)\)
\(\therefore (2) = (1)\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}\;\blacksquare\)