Problem 11.23 Challenge
หัวข้อ: สมการคลื่นเชิงเส้น (The Linear Wave Equation)
α(x - vt) จงแสดงว่า y = Ae เป็นผลเฉลยของสมการคลื่นเชิงเส้นใน 1 มิติ เมื่อ A และ α คือ ค่าคงที่ และ v คือ อัตราเร็วคลื่น?
คำตอบ
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}\;\blacksquare\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
\(_{\alpha (x - vt)}\)
จาก \(y = Ae\)
\(_{\alpha (x - vt)}\)
พิจารณา \(\frac{\partial y}{\partial t}= -\alpha vAe\)
\(_{\alpha (x - vt)}\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}= \alpha ^{2}v^{2}Ae\)
\(_{\alpha (x - vt)}\)
\(\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}= \alpha ^{2}Ae\cdots \cdots (1)\)
\(_{\alpha (x - vt)}\)
พิจารณา \(\frac{\partial y}{\partial x}= \alpha Ae\)
\(_{\alpha (x - vt)}\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}= \alpha ^{2}Ae\cdots \cdots (2)\)
\(\therefore (2) = (1)\)
\(\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}\;\blacksquare\)