Problem 13.110 Challenge
หัวข้อ: การหาศักย์ไฟฟ้าจากสนามไฟฟ้า (Obtaining the Value of the Electric Potential from the Electric Field)
\(\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
พิจารณาที่ \(r < R (\) ด้านในทรงกลม)
\(+Q\)
\(\frac{+}{+R}\)
ผิวเกาส์
\(\frac{+}{r+}\)
\(+\)
\(+\)
จาก \(∮\vec{E}·d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{ε_{0}}\)
จะได้ \(E_{in}=\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}\)
\(E_{in}= 0; q_{enc}= 0\)
พิจารณาที่ r ≥ R (ด้านนอกทรงกลม)
\(+Q\)
\(+\)
\(\frac{+}{+R}\)
ผิวเกาส์
\(\frac{+}{+r}\)
\(+\)
\(+\)
จาก \(∮\vec{E}·d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{ε_{0}}\)
จะได้ \(E_{out}=\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}\)
\(E_{out}=\frac{Q}{ε_{0}(4\pi r^{2})}; q_{enc}= Q and A_{G}= 4\pi r^{2}\)
\(E_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\)
จาก \(E_{in}= 0\) และ \(E_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\) จะได้กราฟดังรูปด้านล่าง
\(\vec{E}\)
\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}R^{2}}\)
\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\)
r
R
\(\;\blacksquare\)
พิจารณาที่ r ≥ R
\(_{r}\)
จะได้\(V=-\int \vec{E}·d\vec{r}\)
\(_{\infty}\)
\(_{r}\)
r̂r̂
\(V_{out}=-\int (\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}})·(dr )\)
\(_{\infty}\)
\(_{r}\)
\(V_{out}=-\int \frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}dr\)
\(_{\infty}\)
\(_{r}\)
\(V_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
\(_{\infty}\)
\(V_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
พิจารณาที่ \(0 < r < R\)
\(_{r}\)
จะได้\(V=-\int \vec{E}·d\vec{r}\)
\(_{\infty}\)
\(_{Rr}\)
r̂r̂r̂
\(V_{in}=-(\int (\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}})·(dr)+\int (0)·(dr ))\)
\(_{\inftyR}\)
\(_{R}\)
\(V_{in}=-(\int \frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}dr + 0)\)
\(_{\infty}\)
\(_{R}\)
\(V_{in}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
\(_{\infty}\)
\(V_{in}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}R}\)
จาก \(V_{in}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}R}\) และ \(V_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\) จะได้กราฟดังรูปด้านล่าง
V
\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}R}\)
\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
r
R
\(\;\blacksquare\)