Problem 13.109 Challenge
หัวข้อ: การหาศักย์ไฟฟ้าจากสนามไฟฟ้า (Obtaining the Value of the Electric Potential from the Electric Field)
\(\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
จาก \(Problem 3.8\) จะได้
r̂
ที่ \(0 < r < R ; \vec{E}_{in}=\frac{Qr}{4\pi ε_{0}R^{3}}\)
r̂
และ \(r \ge R ; \vec{E}_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\)
พิจารณาที่ r ≥ R
\(_{r}\)
จะได้\(V=-\int \vec{E}·d\vec{r}\)
\(_{\infty}\)
\(_{r}\)
r̂r̂
\(V_{out}=-\int (\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}})·(dr )\)
\(_{\infty}\)
\(_{r}\)
\(V_{out}=-\int \frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}dr\)
\(_{\infty}\)
\(_{r}\)
\(V_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
\(_{\infty}\)
\(V_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
พิจารณาที่ \(0 < r < R\)
\(_{r}\)
จะได้\(V=-\int \vec{E}·d\vec{r}\)
\(_{\infty}\)
\(_{Rr}\)
r̂r̂r̂r̂
\(V_{in}=-(\int (\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}})·(dr)+\int (\frac{Qr}{4\pi ε_{0}R^{3}})·(dr ))\)
\(_{\inftyR}\)
\(_{Rr}\)
\(V_{in}=-(\int \frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}dr+\int \frac{Qr}{4\pi ε_{0}R^{3}}dr)\)
\(_{\inftyR}\)
\(_{Rr}\)
\(V_{in}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}-\frac{Qr^{2}}{8\pi ε_{0}R^{3}}\)
\(_{\inftyR}\)
\(V_{in}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}R}-\frac{Qr^{2}}{8\pi ε_{0}R^{3}}+\frac{Q}{8\pi ε_{0}R}\)
\(V_{in}=\frac{Q}{8\pi ε_{0}R}(3 -\frac{r^{2}}{R^{2}})\)
จาก \(V_{in}=\frac{Q}{8\pi ε_{0}R}(3 -\frac{r^{2}}{R^{2}})\) และ \(V_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\) จะได้กราฟดังรูปด้านล่าง
V
\(\frac{3Q}{8\pi ε_{0}R}\frac{Q}{8\pi ε_{0}R}(3 -\frac{r^{2}}{R^{2}})\)
\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}R}\)
\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}r}\)
r
R
\(\;\blacksquare\)