Problem 13.108 Challenge
หัวข้อ: การหาศักย์ไฟฟ้าของประจุที่กระจายตัวต่อเนื่อง (Electric Potential Due to Continuous Charge Distributions)
\(\therefore V=k\alpha a(\frac{L}{a}-\ln (1+\frac{L}{a}))\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
a) จาก \(λ = αx\)
\(\frac{C}{m}= \alpha (m)\)
\(\alpha =\frac{C}{m^{2}}\;\blacksquare\)
b) พิจารณาศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ dq
y
xdx
P
x
\(\frac{r}{L}\)
a
จะได้ \(dV = \frac{kdq}{r}\)
\(dV =\frac{k\lambda dx}{x + a}\)
\(dV =\frac{k\alpha xdx}{x + a}\)
\(_{L}\)
\(V=k\alpha \int \frac{x}{x + a}dx\)
\(_{0}\)
กำหนดให้ \(u = x + a\)
\(\frac{du}{dx}= 1\)
\(dx = du\)
และ \(x = 0\) จะได้ \(u = a\)
และ \(x = L\) จะได้ \(u = a + L\)
\(_{a + L}\)
จะได้\(V=kα\int (\frac{u - a}{u})du\)
\(_{a}\)
\(_{a + L}\)
\(V=k\alpha \int (1-\frac{a}{u})du\)
\(_{a}\)
\(_{a + L}\)
\(V = k\alpha (u - alnu)\)
\(_{a}\)
\(V = k\alpha ((a + L - aln(a + L)) - (a + aln(L)))\)
\(V = k\alpha (L - aln(\frac{a + L}{a}))\)
\(V=k\alpha (L-aln(1+\frac{L}{a}))\)
\(V=k\alpha a(\frac{L}{a}-\ln (1+\frac{L}{a}))\)
ตรวจสอบคำตอบ โดยพิจารณาที่ไกลมากๆ \((a >> L)\)
จะได้\(\frac{L}{a}\approx 0\)
\(\therefore V \approx 0\)
สอดคล้องกับสมการศักย์ไฟฟ้าของจุดประจุที่ไกลมากๆ
\(\therefore V=k\alpha a(\frac{L}{a}-\ln (1+\frac{L}{a}))\;\blacksquare\)