Problem 13.104 Challenge

ขั้นที่ \(1)\) พิจารณาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ \(dq = σdA\)

y

\(+σ\)

R

\(\frac{P}{x}x\)

rdr

\(dq = σdA\)

จาก \(Problem 2.2\) จะได้ \(dV = \frac{kdq}{r^{2} + x^{2}}\)

ขั้นที่ \(2)\) ในกรณีนี้ x คงที่ แต่รัศมี r ไม่คงที่

ขั้นที่ \(3)\) จัดสมการให้อยู่ในรูป ของ dr จะได้

\(dV =\frac{kσdA}{r^{2} + x^{2}}; dq = σdA\)

\(dV =\frac{kσ2\pi rdr}{r^{2} + x^{2}}; dA = 2\pi rdr\)

\(dV =\frac{σ2\pi rdr}{4\pi ε_{0}r^{2}+x^{2}}; k =\frac{1}{4\pi ε_{0}}\)

\(dV =\frac{σrdr}{2ε_{0}r^{2}+x^{2}}\)

ขั้นที่ \(4)\) ทำการอินทิเกรต

\(_{R}\)

\(V =\frac{σ}{2ε_{0}}\int \frac{rdr}{r^{2} + x^{2}}\)

\(_{0}\)

ให้ \(u = r^{2} + x^{2}\)

\(\frac{du}{dr}= 2r\)

\(rdr =\frac{du}{2}\)

และ \(r = 0\) จะได้ \(u = x^{2}\)

และ \(r = R\) จะได้ \(u = R^{2} + x^{2}\)

\(_{R^{2} + x^{2}}\)

จะได้ \(V = \frac{σ}{2ε_{0}}\int \frac{du}{2 u}\)

\(_{x^{2}}\)

\(_{R^{2} + x^{2}}\)

\(V =\frac{σ}{2ε_{0}}u\)

\(_{x^{2}}\)

\(V =\frac{σ}{2ε_{0}}(\sqrt{R^{2} + x^{2}}- x)\)

ขั้นที่ \(5)\) สมการอยู่ในรูปตัวแปรที่โจทย์ให้มาทั้งหมดอยู่แล้ว

ขั้นที่ \(6)\) ตรวจสอบคำตอบโดยพิจารณาที่ไกลมากๆ \((x >> R)\)

จะได้ \(R^{2} + x^{2} \approx x^{2}\)

\(\therefore V \approx 0\)

สอดคล้องกับสนามไฟฟ้าที่ตำแหน่งไกลมากๆ

\(\therefore V =\frac{σ}{2ε_{0}}(\sqrt{R^{2} + x^{2}}- x) \;\blacksquare\)

เพิ่มเติม : ศักย์ไฟฟ้าที่ผิวแผ่นประจุใหญ่มาก \((x = 0)\)

จะได้ \(V = \frac{σR}{2ε_{0}}\)