Problem 15.71 Challenge

a) จาก \(|φ_{B}|= |\int \vec{B}·d\vec{A}|\)

\(^{2a}\mu _{0}btk\hat{k}̂\)

\(|φ_{B}|=|\int ()·(ady )|\)

\(_{a}2\pi y\)

\(_{2a}\)

\(|φ_{B}|=\frac{\mu _{0}abt}{2\pi}|\int \frac{1}{y}dy|\)

\(_{a}\)

\(_{2a}\)

\(|φ_{B}| =\frac{\mu _{0}abt}{2\pi}|lny|=\frac{\mu _{0}abtln(2)}{2\pi}\)

\(_{a}\)

จาก \(ε = -\frac{dφ_{B}}{dt}\)

\(ε = -\frac{d}{dt}(\frac{\mu _{0}abtln(2)}{2\pi})\)

\(ε = -\frac{\mu _{0}abln(2)}{2\pi}\)

\(\therefore |ε| =\frac{\mu _{0}abln(2)}{2\pi}\)

เนื่องจากฟลักซ์แม่เหล็กที่ไหลผ่านออกมาจากลวดตัวนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีขนาดเพิ่มขึ้น

จะได้แผนภาพวงจรไฟฟ้า ดังรูปด้านล่าง

I

\(R‘ε =\frac{\mu _{0}abln(2)}{2\pi}\)



จาก \(ε = IR\)

\(I=\frac{ε}{R}=\frac{\mu _{0}abln(2)}{2\pi R}\;\blacksquare\)

และ ทิศทางของกระแสไฟฟ้า คือ ทิศวนตามเข็มนาฬิกา \(\;\blacksquare\)

b) พิจารณาแรงในส่วนของเส้นลวดตัวนำสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านขนานแกน x ที่ใกล้กับ

เส้นลวดโลหะยาวมากๆ

จะได้ F⃑ด้านใกล้= IจัตุรัสL⃑จัตุรัสtimes B⃑ลวดยาวมากๆ

îk̂

F⃑ด้านใกล้= (fracmu ₀abln(2)2pi R)(-a )times (fracmu ₀bt2pi a)

ĵ

F⃑ด้านใกล้=fracmu ₀^2ab^2tln(2)4pi ^2R

พิจารณาแรงในส่วนของเส้นลวดตัวนำสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านขนานแกน x ที่ไกลกับเส้น

ลวดโลหะยาวมากๆ

จะได้ F⃑ด้านไกล= IจัตุรัสL⃑จัตุรัสtimes B⃑ลวดยาวมากๆ

îk̂

F⃑ด้านไกล= (fracmu ₀abln(2)2pi R)(a )times (fracmu ₀bt2pi (2a))

ĵ

F⃑ด้านไกล= -fracmu ₀^2ab^2tln(2)8pi ^2R

เนื่องจากแรงในส่วนของเส้นลวดตัวนำสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านขนานแกน y ทั้งสองด้านจะ

หักล้างกันพอดี

จะได้ F⃑ = F⃑ด้านใกล้+ F⃑ด้านไกล

ĵĵ

\(\vec{F} =\frac{\mu _{0}^{2}ab^{2}tln(2)}{4\pi ^{2}R}-\frac{\mu _{0}^{2}ab^{2}tln(2)}{8\pi ^{2}R}\)

ĵ

\(\vec{F} =\frac{\mu _{0}^{2}ab^{2}tln(2)}{8\pi ^{2}R}\;\blacksquare\)