บทที่ 19 · ฟิสิกส์อะตอมและควอนตัมฟิสิกส์
Problem 19.31 Challenge
หัวข้อ: ปรากฏการณ์คอมพ์ตัน (The Compton Effect)
\(\lambda ' = \lambda (\frac{1 -\frac{ucos\theta}{c}}{1 -\frac{u}{c}}) +\frac{h}{m_{0}c}\sqrt{\frac{1 +\frac{u}{c}}{1 -\frac{u}{c}}}(1 - \cos \theta ) \;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
กำหนดให้ขนาดโมเมนตัมของโฟตอนก่อนชน คือ p
ขนาดโมเมนตัมของโฟตอนหลังชน คือ p′
ขนาดโมเมนตัมของอิเล็กตรอนหลังชน คือ \(p_{ef}\)
ขนาดโมเมนตัมของอิเล็กตรอนหลังชน คือ \(p_{ei}\)
จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้
\(\Sigma \vec{p}_{f}= \Sigma \vec{p}_{i}\)
\(\vec{p}_{ef}+ \vec{p}' = \vec{p}_{ei}+ \vec{p}\)
\(\vec{p}_{ef}-\vec{p}_{ei}= \vec{p} - \vec{p}'\)
\(\therefore p_{ef}^{2} +p_{ei}^{2} - 2p_{ef}p_{ei}\cos φ = p^{2} + p'^{2} - 2pp'\cos \theta \cdots \cdots (1)\)
พิจารณาการอนุรักษ์โมเมนตัมในแกน x (แนวที่เข้าชนอิเล็กตรอน)
จะได้ \(Σp_{xf}= \Sigma p_{xi}\)
\(p'\cos \theta + p_{ef}\cos φ = p + p_{ei}\)
\(p_{ef}\cos φ = p + p_{ei}- p'\cos \theta \cdots \cdots (2)\)
แทน \((2)\) ใน \((1)\) จะได้
\(p_{ef}^{2} +p_{ei}^{2} - 2p_{ei}(p + p_{ei}- p'\cos \theta ) = p^{2} + p'^{2} - 2pp'\cos \theta \cdots \cdots (3)\)
จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน (หลังการชนอิเล็กตรอนมีอัตราเร็วสูง) จะได้
\(\Sigma E_{f}= \Sigma E_{i}\)
\(p'c + E_{ef}= pc + E_{ei}\)
\(E_{ef}= (p - p')c + E_{ei}\)
\(E_{ef}^{2} = (p^{2} + p'^{2} - 2pp')c^{2} + 2(p - p')cE_{ei}+ E_{ei}^{2}\)
\(E_{ef}^{2} - E_{ei}^{2} = (p^{2} + p'^{2} - 2pp')c^{2} + 2(p - p')cE_{ei}\)
\(p_{ef}^{2}c^{2} - p_{ei}^{2}c^{2} = (p^{2} + p'^{2} - 2pp')c^{2} + 2(p - p')cE_{ei}\)
\(p_{ef}^{2} - p_{ei}^{2}=(p^{2}+p'^{2}-2pp')+\frac{2}{c}(p-p')\gamma m_{0}c^{2}\)
\(p_{ef}^{2} - p_{ei}^{2} = p^{2} + p'^{2} - 2pp' + 2(p - p')\gamma m_{0}c\)
\(p_{ef}^{2} - p_{ei}^{2} = p^{2} + p'^{2} - 2pp' + 2(p - p')p_{ei}\frac{c}{u}\cdots \cdots (4)\)
\((3) - (4)\) จะได้
\(p_{ei}p'\cos \theta - p_{ei}p = pp' - pp'\cos \theta - (p - p')p_{ei}\frac{c}{u}\)
\(p_{ei}p(\frac{u}{c}- 1) = p'p_{ei}(1 -\frac{ucos\theta}{c})+pp'\frac{u}{c}(1-\cos \theta )\)
\((\gamma m_{0}u)(\frac{h}{\lambda})(1-\frac{u}{c})=(\frac{h}{\lambda '})[(\gamma m_{0}u)(1 -\frac{ucos\theta}{c})+(\frac{h}{\lambda})\frac{u}{c}(1-\cos \theta )]\)
\(\lambda ' = \lambda (\frac{1 -\frac{ucos\theta}{c}}{1 -\frac{u}{c}}) +\frac{h}{m_{0}c}\sqrt{\frac{1 +\frac{u}{c}}{1 -\frac{u}{c}}}(1 - \cos \theta ) \;\blacksquare\)