Problem 13.40 Challenge

ขั้นที่ \(1)\) พิจารณาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ dq

y

xdx

\(\frac{P+Q}{\frac{dq}{L}}x\)

\(d\vec{E}\)

a

î

จากรูป จะได้ \(d\vec{E} = \frac{kdq}{x^{2}}(- )\)

ขั้นที่ \(2)\) ในกรณีนี้ทิศทางจะคงที่ทุกๆ dq แต่ x จะไม่คงที่

ขั้นที่ \(3)\) จัดสมการให้อยู่ในรูป ของ dx จะได้

î

\(d\vec{E} =\frac{k\lambda dx}{x^{2}}(- ); \lambda =\frac{dq}{dx}\)

ขั้นที่ \(4)\) ทำการอินทิเกรต

\(^{a + L}î\)

\(\vec{E}=k\lambda \int \frac{dx}{x^{2}}(- )\)

\(_{a}\)

\(_{a + L}\)

î

\(\vec{E}=-k\lambda \frac{1}{x}(-)\)

\(_{a}\)

î

\(\vec{E}=k\lambda (\frac{1}{a}-\frac{1}{a + L}) (- )\)

î

\(\vec{E} =\frac{k\lambda L}{a(a + L)}(- )\)

ขั้นที่ \(5)\) แทนค่า \(λ = \frac{Q}{L}\) จะได้

î

\(\vec{E} =\frac{k(Q/L)L}{a(a + L)}(- )\)

î

\(\vec{E} =\frac{kQ}{a(a + L)}(- )\)

ขั้นที่ \(6)\) ตรวจสอบคำตอบโดยพิจารณาที่ไกลมากๆ \((a >> L)\)

จะได้ \(a + L \approx a\)

î

\(\therefore \vec{E} \approx \frac{kQ}{a^{2}}(- )\)

r̂

สอดคล้องกับสมการของจุดประจุ \(\vec{E} = \frac{kQ}{r^{2}}\)

î

\(\therefore \vec{E} =\frac{kQ}{a(a + L)}(- ) \;\blacksquare\)