Problem 13.41 Challenge

ขั้นที่ \(1)\) พิจารณาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ dq

y

\(+Q\)

R

\(d\vec{E}\)

\(\frac{x}{\theta}\)

\(\frac{\theta}{P}x\)

r

dq

î

จากรูป จะได้ \(d\vec{E} = \frac{kdq}{r^{2}}(\cos \theta + \sin \theta ˄\perp i)\)

ขั้นที่ \(2)\) ในกรณีนี้ r และ \(θ\) แต่ทิศทาง \(˄\perp i\) แต่ทิศทางดังกล่าวจะหักล้างกันหมด

ขั้นที่ \(3)\) สมการอยู่ในรูปของ dq พร้อมอินทิเกรตอยู่แล้ว

ขั้นที่ \(4)\) ทำการอินทิเกรต

\(^{Q}î\)

\(\vec{E} =\frac{k}{r^{2}}\cos \theta \int dq\)

\(_{0}\)

\(_{Q}\)

î

\(\vec{E} =\frac{k}{r^{2}}(\frac{x}{r})q; \cos \theta =\frac{x}{r}\)

\(_{0}\)

î

\(\vec{E} =\frac{kQx}{r^{3}}\)

î

\(\vec{E} =\frac{kQx}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}; r =\sqrt{R^{2} + x^{2}}\)

ขั้นที่ \(5)\) สมการอยู่ในรูปตัวแปรที่โจทย์ให้มาทั้งหมดอยู่แล้ว

ขั้นที่ \(6)\) ตรวจสอบคำตอบโดยพิจารณาที่ไกลมากๆ \((x >> R)\)

จะได้ \(R^{2} + x^{2} \approx x^{2}\)

î

\(\therefore \vec{E} \approx \frac{kQ}{x^{2}}\)

r̂

สอดคล้องกับสมการของจุดประจุ \(\vec{E} = \frac{kQ}{r^{2}}\)

î

\(\therefore \vec{E} =\frac{kQx}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}\;\blacksquare\)