Problem 13.43 Challenge

พิจารณาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ dq

\(d\vec{E}\)

y

\(\frac{P\theta}{r}\)

y

\(\frac{dx\theta +Q}{-\frac{L}{2}-x\frac{L}{2}}x\)

îĵ

จะได้ \(d\vec{E} = \frac{kdq}{r^{2}}(\cos \theta + \sin \theta )\)

îĵ

\(d\vec{E} =\frac{k\lambda dx}{r^{2}}(\cos \theta + \sin \theta )\)

ĵî

\(\vec{E} = k\lambda \int \sin \theta \frac{dx}{r^{2}};\) ทิศ หักล้างกันหมด

ĵ

\(\vec{E}=k\lambda \int (\frac{y}{r})\frac{dx}{r^{2}}\)

ĵ

\(\vec{E} = k\lambda y\int \frac{dx}{r^{3}}\)

\(^{L/2}ĵ\)

\(\vec{E} = k\lambda y\int \frac{dx}{(y^{2} + x^{2})^{3/2}}; r =\sqrt{y^{2} + x^{2}}\)

\(_{-L/2}\)

\(_{L/2}\)

ĵ

\(\vec{E} = k\lambda y\frac{x}{y^{2}y^{2}+x^{2}}\)

\(_{-L/2}\)

ĵ

\(\vec{E} =\frac{k\lambda}{y}(\frac{L}{2y^{2}+(L/2)^{2}}-\frac{-L}{2y^{2}+(-L/2)^{2}})\)

ĵ

\(\vec{E} =\frac{k\lambda L}{yy^{2}+(L/2)^{2}}\)

ĵ

\(\vec{E} =\frac{kQ}{yy^{2}+(L/2)^{2}}; Q = \lambda L\)

ตรวจสอบคำตอบ โดยพิจารณาที่ไกลมากๆ \((y >> L)\)

จะได้ \(y^{2} + (L/2)^{2} \approx y^{2}\)

ĵ

\(\therefore \vec{E} \approx \frac{kQ}{y^{2}}\)

สอดคล้องกับสมการของจุดประจุ \(\vec{E} = \frac{kQ}{r^{2}}\)

ĵ

\(\therefore \vec{E} =\frac{kQ}{yy^{2}+(L/2)^{2}}\;\blacksquare\)