Problem 13.42 Challenge

ขั้นที่ \(1)\) พิจารณาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ \(dq = σdA\)

y

\(+σ\)

R

\(\frac{P}{x}x\)

rdr

\(dq = σdA\)

î

จาก \(Problem 2.2\) จะได้ \(d\vec{E} = \frac{kxdq}{(r^{2} + x^{2})^{3/2}}\)

ขั้นที่ \(2)\) ในกรณีนี้ x และทิศทางคงที่ แต่รัศมี r ไม่คงที่

ขั้นที่ \(3)\) จัดสมการให้อยู่ในรูป ของ dr จะได้

î

\(d\vec{E} =\frac{kxσdA}{(r^{2} + x^{2})^{3/2}}; dq = σdA\)

î

\(d\vec{E} =\frac{kxσ2\pi rdr}{(r^{2} + x^{2})^{3/2}}; dA = 2\pi rdr\)

î

\(d\vec{E} =\frac{xσ2\pi rdr}{4\pi ε_{0}(r^{2} + x^{2})^{3/2}}; k =\frac{1}{4\pi ε_{0}}\)

î

\(d\vec{E} =\frac{xσrdr}{2ε_{0}(r^{2} + x^{2})^{3/2}}\)

ขั้นที่ \(4)\) ทำการอินทิเกรต

\(^{R}î\)

\(\vec{E} =\frac{xσ}{2ε_{0}}\int \frac{rdr}{(r^{2} + x^{2})^{3/2}}\)

\(_{0}\)

ให้ \(u = r^{2} + x^{2}\)

\(\frac{du}{dr}= 2r\)

\(rdr =\frac{du}{2}\)

และ \(r = 0\) จะได้ \(u = x^{2}\)

และ \(r = R\) จะได้ \(u = R^{2} + x^{2}\)

\(^{R^{2} + x^{2}}î\)

จะได้ \(\vec{E} = \frac{xσ}{2ε_{0}}\int \frac{du}{2u^{3/2}}\)

\(_{x^{2}}\)

\(_{R^{2} + x^{2}}\)

î

\(\vec{E} = -\frac{xσ}{2ε_{0} u}\)

\(_{x^{2}}\)

î

\(\vec{E} =\frac{xσ}{2ε_{0}}(\frac{1}{x}-\frac{1}{R^{2} + x^{2}})\)

î

\(\vec{E} =\frac{σ}{2ε_{0}}(1 -\frac{x}{R^{2} + x^{2}})\)

ขั้นที่ \(5)\) สมการอยู่ในรูปตัวแปรที่โจทย์ให้มาทั้งหมดอยู่แล้ว

ขั้นที่ \(6)\) ตรวจสอบคำตอบโดยพิจารณาที่ไกลมากๆ \((x >> R)\)

จะได้ \(R^{2} + x^{2} \approx x^{2}\)

\(\therefore \vec{E} \approx 0\)

สอดคล้องกับสนามไฟฟ้าที่ตำแหน่งไกลมากๆ

î

\(\therefore \vec{E} =\frac{σ}{2ε_{0}}(1 -\frac{x}{R^{2} + x^{2}}) \;\blacksquare\)

เพิ่มเติม : ในกรณีที่แผ่นประจุใหญ่มากๆ \((R >> x)\)

จะได้\(R^{2}+x^{2}\approx R^{2}\) และ\(\frac{x}{R}\approx 0\)

î

\(\therefore \vec{E} \approx \frac{σ}{2ε_{0}}\)

ถ้าความหนาแน่นของประจุคงที่ จะได้ว่าสนามไฟฟ้าของแผ่นประจุใหญ่มากๆ จะ

î

คงที่ประมาณ \(\vec{E} \approx \frac{σ}{2ε_{0}}\)