Problem 15.8 Challenge

พิจารณาภาพตัดขวางบนระนาบ xy ดังรูปด้านล่าง

y

·I

··

\(\frac{b}{\frac{\times}{c\times}·\frac{\times a}{\times}·}x\)

I

··

·

พิจารณาที่ \(r < a\)

จาก \(∮\vec{B}·d\vec{s} = μ_{0}I_{enc}\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}(JA)\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}(\frac{I}{\pi a^{2}})(\pi r^{2})\)

\(\therefore \vec{B}_{r < a}=\frac{\mu _{0}Ir}{2\pi a^{2}}(- ˄\theta )\)

พิจารณาที่ \(a \le r < b\)

จาก \(∮\vec{B}·d\vec{s} = μ_{0}I_{enc}\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}I\)

\(\therefore \vec{B}_{a \le r < b}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi r}(- ˄\theta )\)

พิจารณาที่ \(b \le r < c\)

จาก \(∮\vec{B}·d\vec{s} = μ_{0}I_{enc}\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}(I - J_{out}A_{out})\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}(I - (\frac{I}{\pi (c^{2} - b^{2})})(\pi (r^{2} - b^{2})))\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}I(1 -\frac{r^{2} - b^{2}}{c^{2} - b^{2}})\)

\(\therefore \vec{B}_{b \le r < c}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi (c^{2} - b^{2})}(\frac{c^{2}}{r}- r) (- ˄\theta )\)

พิจารณาที่ r ≥ c

จาก \(∮\vec{B}·d\vec{s} = μ_{0}I_{enc}\)

\(|\vec{B}|(2\pi r) = \mu _{0}(I - I)\)

\(\therefore \vec{B}_{r \ge c}= 0\)

จาก \(\vec{B} _{r < a}=\frac{\mu _{0}Ir}{2\pi a^{2}}(- ˄\theta ), \vec{B}_{a \le r < b}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi r}(- ˄\theta ),\)

\(\vec{B}_{b \le r < c}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi (c^{2} - b^{2})}(\frac{c^{2}}{r} - r) (- ˄θ)\) และ \(\vec{B} _{r \ge c}= 0\)

จะได้กราฟดังรูปด้านล่าง

\(\vec{B}\) ในทิศ \(- ˄θ (\) ตามเข็มนาฬิกา)

\(\frac{\mu _{0}I}{2\pi a}\)

\(\frac{\mu _{0}I}{2\pi r}\)

\(\frac{\mu _{0}Ir}{2\pi a^{2}}\)

\(\frac{\mu _{0}I}{2\pi b}\frac{\mu _{0}I}{2\pi (c^{2} - b^{2})}(\frac{c^{2}}{r}- r)\)

r

abc

\(\;\blacksquare\)