Problem 9.72 Challenge

a) พิจารณาให้รูที่เจาะเป็นจุด \(1\) และปากถังเป็นจุด \(2\)

จาก\(P_{1}+\frac{1}{2}ρv_{1}^{2}+ρgy_{1}=P_{2}+\frac{1}{2}ρv_{2}^{2}+ρgy_{2}\)

\(P_{0}+\frac{1}{2}ρv_{1}^{2}+ρg(y+H)=P_{0}+\frac{1}{2}ρv_{2}^{2}+ρg(h+H)\)

\(ρv_{1}^{2}+ρg(y+H)=\frac{1}{2}\frac{1}{2}ρv_{2}^{2}+ρg(h+H)\)

\(v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2g(h -y)\cdots \cdots (1)\)

จาก \(Av_{2} = av_{1}\)

\(v_{2} =\frac{av_{1}}{A}\)

\(v_{2} \approx 0; a << A \cdots \cdots (2)\)

แทน \((2)\) ใน \((1)\) จะได้ \(v_{1}^{2} = 2g(h -y)\)

\(v_{1} =\sqrt{2g(h -y)}\;\blacksquare\)

b) พิจารณาการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

พิจารณาแกน y

จาก \(y = u_{y}t+\frac{1}{2}a_{y}t^{2}\)

\(-(H+y)=(0)t+\frac{1}{2}(-g)t^{2}\)

\(t = \pm \sqrt{\frac{2(H + y)}{g}}\)

\(\therefore t =\sqrt{\frac{2(H + y)}{g}}\)

พิจารณาแกน x

จาก \(x = v_{1}t\)

\(x = (\sqrt{2g(h -y)})(\sqrt{\frac{2(H + y)}{g}})\)

\(x = 2\sqrt{(h - y)(H + y)}\;\blacksquare\)

c) หาจุดสูงสุดจาก \(\frac{dx}{dy}= 0\)

\(\frac{d(2hH+hy-Hy-y^{2})}{dy}= 0\)

\(\frac{h - H - 2y}{hH + hy - Hy - y^{2}}= 0\)

\(h - H - 2y = 0\)

\(y =\frac{h - H}{2}\;\blacksquare\)