Problem 7.111 Challenge

หัวข้อ: การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ (Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)

แผ่นจานซึ่งประมาณได้ว่าเป็นวัตถุแข็งเกร็งหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมตามสมการ ω(t) = A - Bt เมื่อ ω มีหน่วยเป็น rad/s, t มีหน่วยเป็น s A และ B เป็น ค่าคงที่ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์ จงหา a) ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ยในช่วง 0 s ถึงเวลา t? b) ความเร่งเชิงมุมที่เวลา t? c) เวลาที่อัตราเร็วเชิงมุมเป็นศูนย์? d) มุมที่เวลา t เมื่อที่ t = 0 s มุมเป็น 0 rad? e) มุมที่อัตราเร็วเชิงมุมเป็นศูนย์? f) อัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในช่วง t = 0 ถึงเวลาที่อัตราเร็วเชิงมุมเป็นศูนย์?

คำตอบ
\(\omega _{av}=\frac{A}{2}\;\blacksquare\)

ดูวิธีทำ

a) จาก \(α_{av}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}\)

\(\alpha _{av}=\frac{\omega (t) - \omega (0)}{t - 0}\)

\(\alpha _{av}=\frac{(A - Bt) - (A)}{t}\)

\(\alpha _{av}= -B \;\blacksquare\)

b) จาก \(α=\frac{d\omega }{dt}\)

\(\alpha =\frac{d(A - Bt)}{dt}\)

\(\alpha (t)= -B \;\blacksquare\)

c) จาก \(ω(t) = A - Bt\)

\(0 = A - Bt\)

\(t=\frac{A}{B}\;\blacksquare\)

d) จาก \(ω=\frac{d\theta }{dt}\)

\(d\theta = \omega dt\)

\(\int d\theta = \int (A - Bt)dt\)

\(\theta (t)=At-\frac{1}{2}Bt^{2}+C\)

ที่ \(t = 0 s and θ = 0 rad\)

จะได้\(0=A(0)-\frac{1}{2}B(0)^{2}+C\)

\(C = 0\)

\(\therefore \theta (t)=At-\frac{1}{2}Bt^{2}\;\blacksquare\)

e) จาก \(θ(t) = At - Bt^{2}\)

\(\theta (\frac{A}{B})=A(\frac{A}{B})-\frac{1}{2}B(\frac{A}{B})^{2}\)

\(\theta (\frac{A}{B})=\frac{A^{2}}{2B}\;\blacksquare\)

f) จาก \(ω_{av}=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}\)

\(\omega _{av}=\frac{\theta (A/B) - \theta (0)}{(A/B) - 0}\)

\(\omega _{av}=\frac{\frac{A^{2}}{2B}- 0}{\frac{A}{B}- 0}\)

\(\omega _{av}=\frac{A}{2}\;\blacksquare\)

โจทย์อื่นในหัวข้อ การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ (Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)

7.108 7.109 7.110 7.112 7.113 7.114 7.115 7.116 7.117 7.118 7.119 7.120