Problem 13.139
หัวข้อ: การรวมกันของตัวเก็บประจุ (Combinations of Capacitors)
ตัวเก็บประจุสองตัว C₁ และ C₂ (C₁ > C₂) ถูกชาร์จจนมีความต่างศักย์ไฟฟ้า เริ่มต้นเท่ากัน ซึ่งเท่ากับ V₀ เมื่อนำตัวเก็บประจุทั้งสองมาต่ออนุกรมกัน โดยตอน เริ่มต้นนำขั้วบวกของ C₁ ต่อเข้ากับขั้วลบของ C₂ และนำขั้วบวกของ C₂ ต่อเข้ากับ ขั้วลบของ C₁ เมื่อปล่อยให้ประจุถ่ายเทจนสุดท้ายกระแสไฟฟ้าในวงจรเป็นศูนย์ (ความต่างศักย์คร่อมตัวเก็บประจุทั้งสองตัวเท่ากัน) จงหา a) ความต่างศักย์คร่อมตัวเก็บประจุทั้งสองในตอนสุดท้าย? b) พลังงานรวมของตัวเก็บประจุทั้งสองในตอนสุดท้าย?
คำตอบ
\(U =\frac{(C_{1} - C_{2})^{2}V_{0}^{2}}{2(C_{1} + C_{2})}\;\blacksquare\)
\(U =\frac{(C_{1} - C_{2})^{2}V_{0}^{2}}{2(C_{1} + C_{2})}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
a) พิจารณาตอนเริ่มต้น จะได้ \(Q = Q_{1} + Q_{2}\)
\(Q = C_{1}V_{0} + C_{2}(-V_{0})\)
\(Q = (C_{1} - C_{2})V_{0}\)
พิจารณาตอนสุดท้าย จะได้ \(Q = Q_{1} + Q_{2}\)
\((C_{1} - C_{2})V_{0} = C_{1}V + C_{2}V\)
\(V = (\frac{C_{1} - C_{2}}{C_{1} + C_{2}})V_{0} \;\blacksquare\)
b) จาก \(U = U_{1} + U_{2}\)
\(U=\frac{1}{2}C_{1}V^{2}+\frac{1}{2}C_{2}V^{2}\)
\(U=\frac{1}{2}(C_{1}+C_{2})V^{2}\)
\(U=\frac{1}{2}(C_{1}+C_{2})(\frac{C_{1} - C_{2}}{C_{1} + C_{2}})^{2}V_{0}^{2}\)
\(U =\frac{(C_{1} - C_{2})^{2}V_{0}^{2}}{2(C_{1} + C_{2})}\;\blacksquare\)