Problem 13.140 Challenge
หัวข้อ: การรวมกันของตัวเก็บประจุ (Combinations of Capacitors)
แผ่นโลหะขนาดใหญ่พื้นที่ A วางขนานกันอยู่โดยอยู่ห่างกันเป็นระยะ 3d แผ่นทั้งสอง เชื่อมอยู่กับสายดิน ทำให้ศักย์ไฟฟ้าบนแผ่นโลหะทั้งสองเป็นศูนย์ หากนำแผ่นโลหะ อีกแผ่นหนึ่งซึ่งพื้นที่ A และมีประจุ +Q มาวางแทรกระหว่างโลหะทั้งสอง ให้มี ระยะห่างจากแผ่นบนเป็นระยะ d ดังรูปด้านล่าง จงหา แผ่นที่ 1 (แผ่นบน) แผ่นที่แทรกเข้ามา (แผ่นกลาง) แผ่นที่ 2 (แผ่นล่าง) a) ประจุเหนี่ยวนำบนแผ่นโลหะสองแผ่นแรก? b) ขนาดความต่างศักย์ไฟฟ้าระหว่างแผ่นโลหะตรงกลางกับแผ่นโลหะสองแผ่นแรก?
คำตอบ
b) จาก \(|ΔV_{1}| = |\frac{Q_{1}}{C_{1}}| = |\Delta V_{2}| = |\frac{Q_{2}}{C_{2}}| =\frac{2Qd}{3ε_{0}A}\;\blacksquare\)
b) จาก \(|ΔV_{1}| = |\frac{Q_{1}}{C_{1}}| = |\Delta V_{2}| = |\frac{Q_{2}}{C_{2}}| =\frac{2Qd}{3ε_{0}A}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
a) ความจุไฟฟ้าระหว่างแผ่นบนกับแผ่นกลาง คือ \(C_{1} = \frac{ε_{0}A}{d}\)
ความจุไฟฟ้าระหว่างแผ่นล่างกับแผ่นกลาง คือ \(C_{2} = \frac{ε_{0}A}{2d}\)
จาก \(Q = Q_{1} + Q_{2} \cdots \cdots (1)\)
และ \(|ΔV_{1}| = |ΔV_{2}|\)
\(\frac{Q_{1}}{C_{1}}=\frac{Q_{2}}{C_{2}}\)
\(\frac{Q_{1}}{\frac{ε_{0}A}{d}}=\frac{Q_{2}}{\frac{ε_{0}A}{2d}}\)
\(Q_{1} = 2Q_{2}\cdots \cdots (2)\)
\((2)\) แทนใน \((1)\) จะได้ \(Q = (2Q_{2}) + Q_{2}\)
\(Q_{2} = -\frac{Q}{3}\;\blacksquare\)
Q₂ แทนใน \((2)\) จะได้ \(Q_{1} = -\frac{2Q}{3}\;\blacksquare\)
b) จาก \(|ΔV_{1}| = |\frac{Q_{1}}{C_{1}}| = |\Delta V_{2}| = |\frac{Q_{2}}{C_{2}}| =\frac{2Qd}{3ε_{0}A}\;\blacksquare\)