Problem 13.32 Challenge

พิจารณาสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุหนึ่งตัว \((q = \frac{Q}{N})\)

y

\(q =\frac{Q}{N}\)

\(_{+}\)

r

\(\frac{R}{\frac{\theta}{x}\theta}x\)

\(\vec{E}_{1}\)

สนามไฟฟ้าของจุดประจุ q หนึ่งตัว จะได้

îî

\(\vec{E}_{1} =\frac{k(Q/N)}{r^{2}}(\cos \theta + \sin \theta ˄\perp i) =\frac{kQ}{Nr^{2}}(\cos \theta + \sin \theta ˄\perp i)\)

สนามไฟฟ้าลัพธ์ จะได้

î

\(\vec{E} = \Sigma \vec{E}_{i}= \Sigma (\frac{kQ}{Nr^{2}}(\cos \theta + \sin \theta ˄\perp i))\)

เนื่องจากในทิศ \(˄\perp i\) สนามไฟฟ้าจะหักล้างกันหมดพอดี จะได้

î

\(\vec{E} = \Sigma \frac{kQ}{Nr^{2}}\cos \theta\)

î

\(\vec{E} = N\frac{kQ}{Nr^{2}}\cos \theta\)

î

\(\vec{E} =\frac{kQ}{r^{2}}(\frac{x}{r}); \cos \theta =\frac{x}{r}\)

îî

\(\vec{E} =\frac{kQx}{r^{3}}=\frac{kQx}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}\;\blacksquare ; r =\sqrt{R^{2} + x^{2}}\)

พิจารณาที่ไกลมาก คือ \(x >> R\) จะได้ \(R^{2} + x^{2} \approx x^{2}\)

îî

\(\therefore \vec{E} =\frac{kQx}{x^{3}}=\frac{kQ}{x^{2}}\)