Problem 16.37 Challenge
หัวข้อ: ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (The Special Theory of Relativity)
นักบินอวกาศโคจรรอบโลกเป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่เหนือพื้นโลก 160 km ถ้า โลกมีมวลประมาณ 5.98×10²⁴ kg, รัศมีของโลกประมาณ 6.37×10⁶ m และค่า คงที่โน้มถ่วงสากล เท่ากับ 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² จงหาว่าเมื่อนักบินอวกาศโคจร ได้ 22 รอบ จะมีอายุอ่อนกว่าคนที่อยู่นิ่งบนโลกกี่วินาที?
คำตอบ
\(22(T - T_{0}) \approx \frac{22\pi}{c^{2}}\sqrt{GM(r + h)}= 39.2 \mu s \;\blacksquare\)
\(22(T - T_{0}) \approx \frac{22\pi}{c^{2}}\sqrt{GM(r + h)}= 39.2 \mu s \;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
กำหนดให้ \(M = 5.98\times 10^{24} kg, r = 6.37\times 10^{6} m, h = 160\times 10^{3} m\)
และ \(G = 6.67\times 10^{-11} N·m^{2}/kg^{2}\)
จาก \(Σ\vec{F} = m\vec{a}\)
จะได้ \(\frac{GMm}{(r + h)^{2}}=\frac{mv^{2}}{r + h}\)
\(v^{2} =\frac{GM}{r + h}\)
\((\frac{2\pi (r + h)}{T_{0}})^{2} =\frac{GM}{r + h}\)
\(T_{0} = 2\pi \sqrt{\frac{(r + h)^{3}}{GM}}\)
จาก \(T - T_{0} \approx \frac{v^{2}T_{0}}{2c^{2}}\)
\(22(T - T_{0}) \approx \frac{22v^{2}T_{0}}{2c^{2}}\)
\(22(T - T_{0}) \approx \frac{11}{c^{2}}(\frac{GM}{r + h})(2\pi \sqrt{\frac{(r + h)^{3}}{GM}})\)
\(22(T - T_{0}) \approx \frac{22\pi}{c^{2}}\sqrt{GM(r + h)}= 39.2 \mu s \;\blacksquare\)