Problem 16.43 Challenge

a) จาก \(f′ = f\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}\)

\(_{1/2-1/2}\)

\(f'=f(1+\frac{v}{c})(1-\frac{v}{c})\)

\(_{n}\)

จาก\((1\pm x)\approx 1\pm nx\) เมื่อ\(x\ll 1\) และ\(x=\frac{v^{2}}{c^{2}}\)

จะได้ \(f′ = f(1 + \frac{v}{2c})(1 +\frac{v}{2c})\)

\(f' = f(1 +\frac{v}{2c})^{2}\)

\(_{n}\)

จาก\((1\pm x)\approx 1\pm nx\) เมื่อ\(x\ll 1\) และ\(x=\frac{v}{2c}\)

จะได้ \(f′ = f(1 + \frac{2v}{2c})\)

\(f'=f(1+\frac{v}{c})\)

เนื่องจากแหล่งกำเนิดเคลื่อนที่ออกจากผู้สังเกต ดังนั้น \(v = -v\)

จะได้\(f′=f(1-\frac{v}{c})\)

\(\frac{c}{\lambda '}=\frac{c}{\lambda}(1-\frac{v}{c})\)

\(\lambda ' =\frac{\lambda}{1 -\frac{v}{c}}\)

\(\lambda ' - \lambda =\frac{\lambda}{1 -\frac{v}{c}}- \lambda\)

\(\Delta \lambda = (\frac{1}{1 -\frac{v}{c}}- 1)\lambda\)

\(\Delta \lambda = (\frac{1 - (1 +\frac{v}{c})}{1 -\frac{v}{c}}- 1)\lambda\)

\(\Delta \lambda = (\frac{\frac{v}{c}}{1 -\frac{v}{c}})\lambda\)

เนื่องจากv≪cดังนั้น\(1-\frac{v}{c}\approx 1\)

\(\therefore \Delta \lambda =(\frac{v}{c})\lambda\)

\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{v}{c}\;\blacksquare\)

b) จาก \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{v}{c}\)

\(v =\frac{\Delta \lambda c}{\lambda}\)

\(v =\frac{(20 nm)c}{(397 nm)}\)

\(v = 0.050c \;\blacksquare\)