Problem 5.76
หัวข้อ: พลังงานศักย์และพลังงานกล (Potential Energy and Mechanical Energy)
วัตถุมวล m เดิมอยู่นิ่งที่จุดบนสุดของผิวครึ่งทรงกลมรัศมี R ถ้าผิวครึ่งทรงกลมลื่น และวัตถุเริ่มไถลลงมาตามผิวครึ่งทรงกลมดังกล่าว จงหาแรงปกติที่ผิวครึ่งทรงกลม กระทำกับวัตถุที่มุม θ ใดๆ และวัตถุจะหลุดจากผิวครึ่งทรงกลมที่มุม θ เท่าใด (กำหนดให้ผิวครึ่งทรงกลมอยู่นิ่งตลอดการเคลื่อนที่ของวัตถุ)?
คำตอบ
\(\theta =\cos ^{-1}(\frac{2}{3})\approx 48°\;\blacksquare\)
\(\theta =\cos ^{-1}(\frac{2}{3})\approx 48°\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
พิจารณา F.B.D.
n
จาก \(\Sigma F_{r}= ma_{r}\)
\(\theta\)
\(n - mgcos\theta = -m\frac{v^{2}}{R}\cdots \cdots (1)\)
\(a =\frac{v^{2}}{R}\)
mg
กำหนดให้ตำแหน่งสูงสุด \(y = 0\)
จาก \(\Sigma W_{NC}= \Delta E\)
\(W_{n}= (K_{f}+ U_{f}) - (K_{i}+ U_{i})\)
\(0=(\frac{1}{2}mv^{2}+-mgR(1-\cos \theta ))-(0+0)\)
\(mv^{2} = 2mgR(1 - \cos \theta )\cdots \cdots (2)\)
\((2)\) แทนใน \((1)\) จะได้ \(n - mgcosθ= -2mg(1 - \cos \theta )\)
\(n = mg(3\cos \theta - 2) \;\blacksquare\)
วัตถุจะหลุดจากผิวครึ่งทรงกลมเมื่อ \(n = 0\)
จะได้ \(0 = mg(3\cos \theta - 2)\)
\(\theta =\cos ^{-1}(\frac{2}{3})\approx 48°\;\blacksquare\)