Problem 5.80

พิจารณาตอนวัตถุแขวนสปริงที่สมดุล โดยสมมติให้วัตถุมีมวล เท่ากับ m

จาก \(\Sigma F_{y}= ma_{y}\)

\(k\ell - mg= m(0)\)

\(k =\frac{mg}{\ell}\)

พิจารณาตอนให้พลังงาน E กับมวล m ที่ตำแหน่งสมดุล

จาก \(\Sigma W_{NC}= \Delta E\)

\(E = (K_{f}+ U_{f}) - (K_{i}+ U_{i})\)

\(E=(\frac{1}{2}mv^{2}+0)-(0+0)\)

\(v =\sqrt{\frac{2E}{m}}\)

พิจารณาหลังจากให้พลังงาน E กับมวล m ที่ตำแหน่งสมดุล

จาก \(\Sigma W_{NC}= \Delta E\)

\(0 = (K_{f}+ U_{f}) - (K_{i}+ U_{i})\)

\(0=(\frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^{2}+mg(-x)+\frac{1}{2}kx^{2})-E\)

\(0=\frac{1}{2}m(\frac{\frac{2E}{m}}{2})^{2}-mgx+\frac{1}{2}(\frac{mg}{\ell})x^{2} - E\)

\(0=\frac{E}{4}-mgx+\frac{mgx^{2}}{2\ell}- E\)

\(x^{2} - 2\ell x -\frac{3E\ell ^{2}}{2mg\ell}= 0\)

\(\therefore x =\frac{2\ell  \pm   4\ell ^{2} +\frac{6E\ell ^{2}}{mg\ell}}{2}\)

\(x =\ell  \pm  \ell \sqrt{1 +\frac{3E}{2mg\ell}}\)

\(x = \ell (1 \pm \sqrt{1 +\frac{3E}{2mg\ell}})\)

\(\therefore x = \ell (1 +\sqrt{1 +\frac{3E}{2mg\ell}}) \;\blacksquare\)