Problem 7.99

พิจารณาแผนภาพอิสระของมวล m

n

จาก \(\Sigma F_{r}= ma_{r}\)

\(\theta\)

\(n - mgcos\theta = -m\frac{v^{2}}{R}\cdots \cdots (1)\)

\(a =\frac{v^{2}}{R}\)

mg

กำหนดให้ตำแหน่งสูงสุด \(y = 0\)

จาก \(\Sigma W_{NC}= \Delta E\)

\(W_{n}= (K_{f}+ U_{f}) - (K_{i}+ U_{i})\)

\(0=(\frac{1}{2}mv^{2}+-mgR(1-\cos \theta ))-(\frac{1}{2}mu^{2})\)

\(mv^{2} = mu^{2} + 2mgR(1 - \cos \theta )\cdots \cdots (2)\)

\((2)\) แทนใน \((1)\)

จะได้ \(n - mgcosθ= -\frac{mu^{2}}{R}- 2mg(1 - \cos \theta )\)

\(n = 3mgcos\theta - 2mg -\frac{mu^{2}}{R}\)

วัตถุจะหลุดจากผิวครึ่งทรงกลมเมื่อ \(n = 0\)

จะได้ \(0 = 3mgcos\theta - 2mg -\frac{mu^{2}}{R}\)

\(0 = 3gRcos\theta - 2gR - u^{2}\)

\(3gRcos\theta = u^{2} + 2gR\)

\(\cos \theta =\frac{u^{2} + 2gR}{3Rg}\)

\(\theta = \cos ^{-1}(\frac{u^{2} + 2gR}{3Rg}) \;\blacksquare\)