Problem 13.53 Challenge
หัวข้อ: กฎของเกาส์ (Gauss’s Law)
ตัวนำทรงกระบอกตันยาว L รัศมี a ประจุ +Q วางอยู่ภายในตัวนำทรงกระบอก กลวงยาว L ประจุ +Q รัศมีภายใน b และรัศมีภายนอก c โดยทรงกระบอกทั้ง สองมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน และประมาณได้ว่าทรงกระบอกนั้นยาวมากๆ จงหาความ หนาแน่นของประจุเชิงพื้นที่ในแต่ละผิวของทรงกลมทั้งสอง?
คำตอบ
\(\therefore σ_{a}=\frac{Q}{2\pi aL}, σ_{b}= -\frac{Q}{2\pi bL}\) และ \(σ_{c}=\frac{Q}{\pi cL}\;\blacksquare\)
\(\therefore σ_{a}=\frac{Q}{2\pi aL}, σ_{b}= -\frac{Q}{2\pi bL}\) และ \(σ_{c}=\frac{Q}{\pi cL}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
เนื่องจากประจุอยู่ที่ผิวของตัวนำ จะได้ q₂
q₁
c
\(+Q +\)
\(\frac{ba+}{+}+\) ผิวเกาส์ในบริเวณทรงกระบอกกลวง
\(++\)
\(+\)
เนื่องสนามไฟฟ้าภายในตัวนำเป็นศูนย์ ดังนั้น \(q_{enc}\) ในบริเวณทรงกลมกลวงจะต้อง
เท่ากับศูนย์
จะได้ \(q_{enc}= Q + q_{1}\)
\(0= Q + q_{1}\)
\(q_{1} = -Q\)
เนื่องจากทรงกลมกลวงมีประจุเป็น \(+Q\)
จะได้ \(Q = q_{1} + q_{2}\)
\(q_{2} = Q - q_{1} = +2Q; q_{1} = -Q\)
\(\therefore σ_{a}=\frac{Q}{2\pi aL}, σ_{b}= -\frac{Q}{2\pi bL}\) และ \(σ_{c}=\frac{Q}{\pi cL}\;\blacksquare\)