Problem 13.60 Challenge

พิจารณาประจุทั้งหมดของทรงกระบอกตัน

จาก \(q = \int ρdV\)

มอง dV เป็นเปลือกผิวทรงกลมรัศมี r ที่มีความหนา dr จะได้ \(dV = 4πr^{2}dr\)

\(_{a}2Qr^{2}\)

\(\therefore q=\int ()(2\pi rLdr)\)

\(_{0}\pi La^{4}\)

\(_{a}\)

\(q =\frac{4Q}{a^{4}}\int r^{3}dr\)

\(_{0}\)

\(_{a}\)

\(q =\frac{Qr^{4}}{a^{4}}\)

\(_{0}\)

\(q = Q\)

พิจารณาการกระจายตัวของประจุเหนี่ยวนำบนผิวตัวนำ ดังรูปด้านล่าง

ประจุ \(0\) อยู่ที่ผิวรัศมี c

c

\(++\)

\(\frac{ba+}{+}+\) ประจุ -Q อยู่ที่ผิวรัศมี b

\(+\)

\(+\)

\(_{r}\)

ประจุ \(q = \int ρdV = \frac{4Q}{a^{4}}\int r^{3}dr\)

\(_{0}\)

\(_{a}\)

พิจารณาที่ \(r < a\) จะได้ \(q_{enc}=\frac{4Q}{a^{4}}\int r^{3}dr =\frac{Qr^{4}}{a^{4}}\) และ \(A_{G}= 2\pi rL\)

\(_{0}\)

จาก \(E =\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}=\frac{Qr^{3}}{2\pi ε_{0}a^{4}L}\)

พิจารณาที่ \(a \le r < b\) จะได้ \(q_{enc} = +Q\) และ \(A_{G}= 2\pi rL\)

จาก \(E =\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}=\frac{Q}{2\pi ε_{0}Lr}\)

พิจารณาที่ \(b \le r < c\) จะได้ \(q_{enc} = +Q - Q = 0\) และ \(A_{G}= 2\pi rL\)

จาก \(E =\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}= 0\)

พิจารณาที่ c ≤ r จะได้ \(q_{enc} = +Q - Q + 0 = 0\) และ \(A_{G}= 2\pi rL\)

จาก \(E =\frac{q}{ε_{0}A_{G}}= 0\)

จะได้กราฟดังรูปด้านล่าง

\(\vec{E}\)

\(\frac{Q}{2\pi ε_{0}La}\)

\(\frac{Q}{2\pi ε_{0}Lr}\)

\(\frac{Qr^{3}}{2\pi ε_{0}a^{4}L}\)

\(\frac{Q}{2\pi ε_{0}Lb}\)

r

\(0abc\)

\(\;\blacksquare\)