Problem 13.54 Challenge

พิจารณาที่ \(r < R (\) ด้านในทรงกลม)

R

\(+Q\) ผิวเกาส์

r

จาก \(∮\vec{E}·d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{ε_{0}}\)

จะได้ \(E_{in}=\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}\)

\(E_{in}=\frac{ρV}{ε_{0}(4\pi r^{2})}; q_{enc}= ρV and A_{G}= 4\pi r^{2}\)

\(E_{in}=\frac{ρ(\frac{4}{3}\pi r^{3})}{4\pi ε_{0}r^{2}};V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)

\((\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}})(\frac{4}{3}\pi r^{3})\)

\(E_{in}=; ρ =\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\)

\(4\pi ε_{0}r^{2}\)

\(E_{in}=\frac{Qr}{4\pi ε_{0}R^{3}}\)

พิจารณาที่ r ≥ R (ด้านนอกทรงกลม)

R

\(+Q\) ผิวเกาส์

r

จาก \(∮\vec{E}·d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{ε_{0}}\)

จะได้ \(E_{out}=\frac{q_{enc}}{ε_{0}A_{G}}\)

\(E_{out}=\frac{Q}{ε_{0}(4\pi r^{2})}; q_{enc}= Q and A_{G}= 4\pi r^{2}\)

\(E_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\)

จาก \(E_{in}=\frac{Qr}{4\pi ε_{0}R^{3}}\) และ \(E_{out}=\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\) จะได้กราฟดังรูปด้านล่าง

\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}R^{2}}\frac{\vec{E}}{\frac{Qr}{4\pi ε_{0}R^{3}}}\)

\(\frac{Q}{4\pi ε_{0}r^{2}}\)

r

R

\(\;\blacksquare\)