Problem 16.47 Challenge

a) พิจารณาเวลาที่แสงเดินทางจากการระเบิดครั้งแรกมายังโลก

จาก \(c = \frac{L}{t_{1}}\)

\(t_{1} =\frac{L}{c}\)

พิจารณาเวลาที่แสงเดินทางจากการระเบิดครั้งที่สองมายังโลก

จาก \(c = \frac{L}{t_{2} - \Delta t_{0}}\)

\(t_{2}=\frac{L}{c}+\Delta t_{0}\)

จาก \(Δt = t_{2} - t_{1}\)

\(\Delta t=(\frac{L}{c}+\Delta t_{0})-(\frac{L}{c})\)

\(\Delta t = \Delta t_{0} \;\blacksquare\)

b) พิจารณาเวลาที่แสงเดินทางจากการระเบิดครั้งแรกมายังโลก

จาก \(c = \frac{\gamma L}{t_{1}}\)

\(t_{1} =\frac{\gamma L}{c}\)

พิจารณาเวลาที่แสงเดินทางจากการระเบิดครั้งที่สองมายังโลก

จาก \(c = \frac{L_{2}}{t_{2} - \gamma \Delta t_{0}}\)

\(c(t_{2} - \gamma \Delta t_{0}) = L_{2}\)

\(c(t_{2} - \gamma \Delta t_{0}) = \gamma (L + v\Delta t_{0})\)

\(t_{2} =\frac{\gamma L}{c}+\frac{\gamma v\Delta t_{0}}{c}+ \gamma \Delta t_{0}\)

\(t_{2}=t_{1}+(\frac{v}{c}+1)\gamma \Delta t_{0}\)

\(t_{2}-t_{1}=(1+\frac{v}{c})(\frac{1}{1 -\frac{v^{2}}{c^{2}}})\Delta t_{0}\)

\(\Delta t = (c + v)(\frac{1}{c^{2} - v^{2}})\Delta t_{0}\)

\(\Delta t = (\frac{c + v}{(c + v)(c - v)})\Delta t_{0}\)

\(\Delta t = (\frac{1}{1 -\frac{v}{c}})(\frac{1}{\gamma})\Delta t_{0}\)

\(\Delta t =\sqrt{\frac{c + v}{c - v}}\Delta t_{0} \;\blacksquare\)