Problem 16.51 Challenge

a) กำหนดให้แสงเป็นวัตถุ, ผู้สังเกตซึ่งอยู่นิ่งเป็นกรอบอ้างอิง O และน้ำเป็นกรอบ

อ้างอิง O′ และให้ทิศการเคลื่อนที่องน้ำเป็นทิศ \(+x\)

จะได้ \(v = v, u_{x}'=\frac{c}{n}\) และให้\(u_{x}= u\)

จาก \(u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1 +\frac{vu_{x}'}{c^{2}}}\)

\(u =\frac{\frac{c}{n}+ v}{1 +\frac{v}{c^{2}}\frac{c}{n}}\)

\(u=\frac{c}{n}(\frac{1 +\frac{nv}{c}}{1 +\frac{v}{nc}}) \;\blacksquare\)

b)จาก\(u=\frac{c}{n}(\frac{1 +\frac{nv}{c}}{1 +\frac{v}{nc}})\)

\(u=\frac{c}{n}(1+\frac{nv}{c})(1 +\frac{v}{nc})^{-1}\)

\(u\approx \frac{c}{n}(1+\frac{nv}{c})(1 -\frac{v}{nc})\)

\(u\approx \frac{c}{n}(1+\frac{nv}{c}-\frac{v}{nc}- (\frac{nv}{c})(\frac{v}{nc}))\)

\(u\approx \frac{c}{n}(1+\frac{nv}{c}-\frac{v}{nc}-\frac{v^{2}}{c^{2}})\)

\(u\approx \frac{c}{n}(1+\frac{nv}{c}-\frac{v}{nc})\)

\(u\approx \frac{c}{n}+v-\frac{v}{n^{2}}\;\blacksquare\)

c)จาก\(u=\frac{c}{n}(\frac{1 +\frac{nv}{c}}{1 +\frac{v}{nc}})\)

แทน v เข้าใกล้ c จะได้

\(u=\lim \frac{c}{n}(\frac{1 +\frac{nv}{c}}{1 +\frac{v}{nc}})\)

\(_{v\to c}\)

\(u=\frac{c}{n}(\frac{1 +\frac{nc}{c}}{1 +\frac{c}{nc}})\)

\(u = c(\frac{1 + n}{1 + n})\)

\(u = c \;\blacksquare\)