บทที่ 7 · การเคลื่อนที่ในสองมิติ
Problem 7.128 Challenge
หัวข้อ: การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ (Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)
จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุทรงกระบอกกลวงมวล M กระจายสม่ำเสมอ รัศมี ด้านใน r รัศมีด้านนอก R และมีแกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวลดังรูปด้านล่าง? แกนหมุน dm = ρdV ; หนา dx
คำตอบ
\(I =\frac{M(R^{4} - r^{4})}{2(R^{2} - r^{2})}=\frac{M(R^{2} - r^{2})(R^{2} + r^{2})}{2(R^{2} - r^{2})}=\frac{1}{2}M(r^{2}+R^{2})\;\blacksquare\)
\(I =\frac{M(R^{4} - r^{4})}{2(R^{2} - r^{2})}=\frac{M(R^{2} - r^{2})(R^{2} + r^{2})}{2(R^{2} - r^{2})}=\frac{1}{2}M(r^{2}+R^{2})\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
จากโมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกบาง \(I = MR^{2}\)
แบ่งมวล dm เป็นกระบอกบางรัศมี x จะได้โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเล็กๆ
\(dI = x^{2}dm\)
\(I = \int x^{2}dm\)
\(I = \int x^{2}ρdV; dm = ρdV\)
\(I = ρ\int x^{2}2\pi xhdx; dV = 2\pi xhdx\)
\(I =\frac{M}{\pi (R^{2} - r^{2})h}\int x^{2}2\pi xhdx; ρ =\frac{M}{\pi (R^{2} - r^{2})h}\)
\(_{R}\)
\(I =\frac{2M}{(R^{2} - r^{2})_{r}}\int x^{3}dx\)
\(I =\frac{M(R^{4} - r^{4})}{2(R^{2} - r^{2})}=\frac{M(R^{2} - r^{2})(R^{2} + r^{2})}{2(R^{2} - r^{2})}=\frac{1}{2}M(r^{2}+R^{2})\;\blacksquare\)