บทที่ 7 · การเคลื่อนที่ในสองมิติ
Problem 7.130 Challenge
หัวข้อ: การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ (Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)
จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุทรงกลมบางมวล M กระจายสม่ำเสมอ รัศมี R และ มีแกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวลดังรูปด้านล่าง? แกนหมุน dm = σdA วงแหวนรัศมี r หนา ds = Rdθ
คำตอบ
\(I=\frac{2}{3}MR^{2}\;\blacksquare\)
\(I=\frac{2}{3}MR^{2}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
จากโมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกบาง \(I = MR^{2}\)
แบ่งมวล dm เป็นวงแหวนรัศมี r หนา ds จะได้โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเล็กๆ
\(dI = r^{2}dm\)
\(I = \int r^{2}dm\)
\(I = \int r^{2}σdA; dm = σdA\)
\(I = \int r^{2}(\frac{M}{4\pi R^{2}})(2\pi rds); σ =\frac{M}{4\pi R^{2}}and dA = 2\pi rds\)
\(I =\frac{M}{2R^{2}}\int (Rsin\theta )^{3}(Rd\theta ); r = Rsin\theta and ds = Rd\theta\)
\(_{\pi}\)
\(I =\frac{MR^{2}}{2}\int \sin \theta ^{3}d\theta\)
\(_{0}\)
\(I=\frac{2}{3}MR^{2}\;\blacksquare\)