บทที่ 7 · การเคลื่อนที่ในสองมิติ
Problem 7.131 Challenge
หัวข้อ: การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ (Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)
จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุทรงกลมตันมวล M กระจายสม่ำเสมอ รัศมี R และมี แกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวล (Hint : ทรงกลมบางๆ รัศมี r หนา dr มีปริมาตร เป็น dV = 4πr²dr เมื่อซ้อนกันจากรัศมี r = 0 ไปจนถึงรัศมี r = R จะได้เป็น ทรงกลมตันรัศมี R และโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมบางเท่ากับ MR²)?
คำตอบ
\(I=\frac{2}{5}MR^{2}\;\blacksquare\)
\(I=\frac{2}{5}MR^{2}\;\blacksquare\)
ดูวิธีทำ
จากโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมบาง\(I=\frac{2}{3}MR^{2}\)
แบ่งมวล dm เป็นผิวทรงกลมบางรัศมี r หนา dr
จะได้โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเล็กๆ
\(dI=\frac{2}{3}r^{2}dm\)
\(I=\frac{2}{3}\int r^{2}dm\)
\(I=\frac{2}{3}\int r^{2}ρdV; dm = ρdV\)
\(I=\frac{2}{3}\int r^{2}(\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}})(4\pi r^{2}dr) ; ρ =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}and dV = 4\pi r^{2}dr\)
\(_{R}\)
\(I =\frac{2M}{R^{3}}\int r^{4}dr\)
\(_{0}\)
\(I=\frac{2}{5}MR^{2}\;\blacksquare\)