Problem 7.88

พิจารณาภาพอิสระของมวล m เมื่ออยู่ที่จุดต่ำสุด ในมุมมองของมวล m โดยสมมติ

ให้ระยะห่างจากจุดหมุนเท่ากับ x

\(F_{s}= k(x - \ell )\) จาก \(ΣF_{r}= ma_{r}\)

\(k(x - \ell ) -\frac{mv^{2}}{x}- mg = 0\)

\(mv^{2} = x(k(x - \ell ) - mg)\)

mg

\(mv^{2} =\frac{1}{2}\frac{x(kx - k\ell  - mg)}{2}\)

\(F_{f}=\frac{mv^{2}}{x}\)

\(K_{i}=\frac{x(kx - k\ell  - mg)}{2}\)

พิจารณาภาพอิสระของมวล m เมื่ออยู่ที่จุดสูงสุดของวงกลม ในมุมมองของมวล m

\(F=\)

จาก \(ΣF^{f}\frac{mv^{2}}{\ell}_{r}= ma_{r}\)

\(\frac{mv^{2}}{\ell}- mg = 0\)

\(mv^{2} = mg\ell\)

mg

\(mv^{2} =\frac{1}{2}\frac{mg\ell}{2}\)

\(K_{f}=\frac{mg\ell}{2}\)

พิจารณาการเคลื่อนที่จากจุดต่ำสุดไปยังจุดสูงสุด

จาก \(\Sigma W_{NC}= \Delta E\)

\(W_{T}= (K_{f}+ U_{f}) - (K_{i}+ U_{i})\)

\(0 = (\frac{mg\ell}{2}+ mg(\ell + x))\)

\(- (\frac{x(kx - k\ell  - mg)}{2}+\frac{1}{2}k(x-\ell )^{2})\)

\(\frac{mg\ell}{2}+ mg(\ell + x) =\frac{x(kx - k\ell  - mg)}{2}+\frac{1}{2}k(x-\ell )^{2}\)

\(0 = 2kx^{2} - 3(k\ell + mg)x + (k\ell - 3mg)\ell\)

\(0=^{\theta}2(\frac{10mg}{\ell})x^{2} - 3((\frac{10mg}{\ell})\ell + mg)x\)

\(+ ((\frac{10mg}{\ell})\ell - 3mg)\ell\)

\(0 = 20mgx^{2} - 33mg\ell x + 7mg\ell ^{2}\)

\(0 = 20x^{2} - 33\ell x + 7\ell ^{2}\)

\(x =\frac{33\ell \pm 33\ell ^{2}-4(20)(7\ell ^{2})}{2(20)}\)

\(x =\frac{33\ell  \pm  23\ell}{40}\)

\(x = 1.4\ell , 0.25\ell\)

\(\therefore x = 1.4\ell \;\blacksquare ; x > \ell\)